Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Связь процесса Хессенберга и процесса Ланцоша

48. Сейчас покажем, что если А — нижняя матрица Хессенберга, то существует тесная связь процесса Хессенберга и несимметричного процесса Ланцоша.

Сначала докажем, что если в процессе Ланцоша мы возьмем векторы с образуют столбцы верхней треугольной матрицы,

независимо от выбора Действительно, предположим, что это верно вплоть до Имеем

Но так как верхняя матрица Хессенберга, компоненты в позициях равны нулю по нашей индуктивной гипотезе . Следовательно, компоненты этих позициях также равны нулю, независимо от возможных значений и Это требуемый результат для

Мы можем использовать этот результат для того, чтобы показать, что векторы являются столбцами нижней треугольной матрицы. Это следует из замечания в § 34 о том, что ортогонализация по отношению к столбцам любой верхней треугольной матрицы дает тот же результат, что и ортогонализация по отношению к столбцам Кроме того, там мы указали, что эта ортогонализация не использует элементы данной верхней треугольной матрицы.

Следовательно, векторы и величины в процессе Ланцоша можно получать без вычисления с. Так как они совпадают с величинами, которые получаются, если вместо взять мы установили совпадение векторов Ланцоша с векторами Хессенберга. Заметим, что в этом частном случае процесса Ланцоша не требуется переортогонализация, так как если X — верхняя треугольная, точная ортогональность достигается автоматически. Если, кроме того, то и процесс Хессенберга, и процесс Ланцоша дают те же самые результаты, что и метод § 43.

Теперь видим, что совсем не удивительно, что возникновение малого ведущего элемента в процессе § 43 ведет к тому же поведению в трехдиагональной матрице, которое наблюдалось в § 39 для процесса Ланцоша в случае, когда было мало. Это поведение является частным случаем общего явления, связанного с процессом Ланцоша.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление