Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Практические трудности

22. Нетрудно показать, что если А полна, то почти все векторы высоты и поэтому приводят к полному характеристическому полиному.

На практике различие между линейной зависимостью и независимостью затушевывается в результате ошибок округления. Даже если высота меньше вряд ли соответствующие точно исчезнут. Более

того, если матрица В плохо обусловлена, то могут возникнуть малые и тогда трудно установить настоящую линейную зависимость. К сожалению, имеется ряд факторов, которые делают В плохо обусловленной. Мы сейчас их обсудим.

Для того чтобы разобраться в этих факторах, предположим, что А это и что

Если начальный вектор имел компоненты и если какая-либо равна нулю, то высота меньше следовательно, В — особенная. Поэтому мы можем ожидать, что малость ведет к плохой обусловленности , и наилучшим выбором будет Матрица В тогда имеет вид

и уравнение, определяющее коэффициенты характеристического полинома, будет

Из явного выражения видно, что В — особенная, если (как мы уже знаем), и плохо обусловлена, если какие-либо два собственных значения близки. Мы можем уравновесить перейдя к С вида

и число обусловленности С оценивается наибольшим элементом ее обратной матрицы. Матрица С это матрица Вандермонда, и можно показать, что если ее обратная, то

где определяются из соотношения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление