Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Значение перестановок

10. Полное преобразование можно записать в виде

где окончательная матрица в форме Хессенберга. Покажем, что перестановки определяют такое подобное преобразование что ведущие элементы возникают естественным образом в нужных позициях.

Мы ограничимся доказательством для случая матриц пятого порядка. Общий случай очевидным образом следует из него (см. гл. 4, § 22). При уравнение (10.1) может быть записано в виде

так как каждое произведение в скобках равно Группируя сомножители, получаем

Матрица в середине является подобным преобразованием А о с матрицей перестановок в качестве трансформирующей. Мы можем назвать ее Если мы обозначим множители в первых трех скобках слева то (10.3) даст

Так как каждая является матрицей в точности того же вида, что только поддиагональные элементы в столбце переставлены (гл. 1, § Следовательно, получаемая из А о одновременной перестановкой строк и столбцов, может быть приведена к без перестановок, и множители автоматически будут по модулю ограничены единицей. Из гл. 1, § известно, что в матрице пет произведений Мы можем обозначить это произведение где единичная треугольная матрица, первый столбец которой равен так как в произведении нет сомножителя Элементы столбца матрицы под диагональю равны соответствующим образом переставленным элементам Итак, мы имеем

и если при преобразовании не нужны перестановки, это даст

В гл. 4, § 5 мы указывали на необходимость уравновешивания матрицы перед выполнением метода Гаусса с выбором главного элемента. Подобным же образом в нашем случае трудно выбирать ведущие элементы, если только не выполнено некоторого аналога уравновешивания. В случае проблемы собственных значений это может быть достигнуто, например, при помощи замены на диагональная матрица, выбранная так, чтобы наибольшие по модулю элементы каждой строки и каждого столбца преобразованной матрицы были одного порядка. До сих пор не проведено достаточно полного анализа этой проблемы. На мы испытывали разные формы уравновешивания. Нет никаких сомнений в том, что очень важно избегать работы с плохо сбалансированными матрицами. (Обсуждение этой проблемы см. Бауэр (1963) и Осборн (1960).)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление