Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Гивенса

2. Рассмотрим сначала аналоги методов Гивенса и Хаусхолдера, которые обсуждались в главе 5. Приведение по методу Гивенса состоит из основных шагов. Перед шагом первые столбцов матрицы А о уже приведены к верхней форме Хессенберга, так что

например, при имеем

Можно сказать, что главный ведущий минор порядка уже приведен к форме Хессенберга, и эта часть не меняется при дальнейших шагах.

Основной шаг состоит из вспомогательных шагов, в которых последовательно аннулируются элементы в позициях столбца. Нуль в позиции получается при помощи вращения в плоскости . В (2.1) подчеркнуты элементы, которые нужно аннулировать, и отмечены стрелками строки и столбцы, которые при этом меняются. Основной шаг может быть описан на общепонятном алгорифмическом языке следующим образом:

Для всех от до выполнить шаги от (i) до (iv):

(i) вычислить ;

(ii) вычислить (Если взять и опустить Записать x на место и нуль на место ;

(iii) для всех значений от до вычислить и записать на место соответственно;

(iv) для всех значений от 1 до вычислить а и записать на место и место соответственно.

Шаг (iii) описывает эффект умножения слева, а шаг (iv) - умножения справа на вращение в плоскости Это преобразование можно сравнить с соответствующим симметричным случаем, описанным в гл. 5, § 22. Из-за отсутствия симметрии требуется преобразование и строк и столбцов. Полное количество умножений приблизительно равно

тогда как в симметричном случае метода Гивенса Заметим, что теперь нет места для запоминания величин в позициях, в которых получаются нули, так как получение нуля в позиции не связано с получением нуля в позиции Экономный метод запоминания, связанный с численной устойчивостью, состоит в следующем. Из значений запоминается то, абсолютная величина которого меньше, а два последних разряда используются для указания того, был ли записан и для знака незаписанной величины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление