Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

28. Решение алгебраической проблемы собственных значений тесно связано с решением системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общая система однородных уравнений первого порядка с неизвестными может быть записана в виде

где независимая переменная, у — вектор с компонентами а матрицы порядка. Если В — особенная, то левые части системы уравнений связаны линейным соотношением. Правые части должны удовлетворять тому же самому соотношению, и, следовательно, линейно зависимы. Систему уравнений можно поэтому привести к системе низшего порядка. В дальнейшем будем полагать, что В — неособенная. Тогда уравнение (28.1) можно записать в виде

где

Предположим, что (28.2) имеет решение вида

где это вектор, не зависящий от Тогда

и поэтому

Следовательно, уравнение (28.4) будет давать решение уравнения (28.2), если X — собственное значение соответствующий ему собственный вектор. Если у А имеется линейно независимых собственных векторов, то мы получим линейно независимых решений (28.2), независимо от того, будут ли различны соответствующие собственные значения. Однако уравнение (28.2) должно иметь линейно независимых решений, так что если т. е. если некоторые элементарные делители А нелинейны, то (28.2) будет иметь решения не чисто экспоненциального типа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление