Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Сравнение методов

65. Если нас интересуют лишь собственные значения, то метод Якоби практически не может сравниться ни с методом Гйвенса, ни с методом Хаусхолдера. Предполагая, что было сделано 6 циклов, мы заключаем, что приведение к диагональной форме по методу Якоби требует в 9 раз больше времени, чем трехдиагонализация Гйвенса, и в 18 раз больше, чем трехдиагонализация Хаусхолдера. Если нужны лишь некоторые собственные значения, то метод Якоби сравнивать особенно невыгодно. Так как преобразование Хаусхолдера вдвое быстрее преобразования Гйвенса и для информации относительно преобразования нужен вдвое меньший объем памяти, то метод Хаусхолдера, по-видимому, должен быть самым эффективным.

Все три метода настолько точны на практике, что точность едва ли должна быть решающим фактором, но в любом случае соотношение в пользу методов Хаусхолдера и Гйвенса. Если могут быть накоплены скалярные произведения, то метод Хаусхолдера чрезвычайно точен.

Есть одно небольшое замечание в пользу метода Гйвенса. Если элемент, который должен быть исключен, уже равен нулю, то соответствующее вращение легко опускается; верно, что в этом случае один элемент из равен нулю и в методе Хаусхолдера, но преимущество этого не так легко использовать. Если исходная матрица содержит много нулевых элементов, то число необходимых вращений значительно уменьшается и, хотя некоторые нули постепенно заменяются ненулевыми элементами по мере продолжения процесса, более поздние вращения требуют меньше вычислений, чем более ранние.

Если нужны собственные векторы, то в пользу метода Якоби должно быть сказано несколько больше. Хотя собственный вектор, вычисленный по методу Якоби, будет иметь в общем случае большую компоненту, ортогональную к соответствующему подпространству, чем аналогичный вектор, вычисленный по методу Гйвенса или Хаусхолдера и методу §§ 53- 55, все же метод Якоби имеет то преимущество, что он дает почти ортогональные векторы. Чрезвычайная простота метода Якоби с точки зрения программирования может также быть причиной его использования. Однако в целом я чувствовал, что, даже когда требуются собственные векторы, метод Хаусхолдера кажется более предпочтительным; недостатки метода определения независимых векторов, соответствующих близким собственным значениям, не такие серьезные, чтобы оправдывать использование более медленного и менее точного метода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление