Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численный пример

61. В качестве иллюстрации поведения варианта Деккера рассмотрим вычисление собственного вектора И, соответствующего собственному значению которое патологически близко к Эта матрица симметрична относительно второй диагонали, поэтому прямая и обратная последовательности совпадают. Обе последовательности вначале уменьшаются, поэтому мы переключаемся попеременно то на прямую, то на обратную последовательность. Когда мы доходим до прямая последовательность начинает расти и продолжает возрастать как раз до Поэтому обратная последовательность отбрасывается. Эти результаты приводятся в табл. 11.

Таблица 11 (см. скан)

На первый взгляд они кажутся несколько расхолаживающими, так как действительное значение очевидно, полностью определяется ошибкой в К и ошибками округления. Однако удовлетворяют двадцать первому уравнению почти точно и, следовательно, нормированный вектор, полученный из х, должен дать вектор-невязку с компонентами

порядка и поэтому в пределах рабочей точности он лежит в подпространстве, натянутом на первые два собственных вектора. Мы даем нормированный собственный вектор. Если являются первыми двумя Нормированными (по -норме) собственными векторами матрицы то мы проверили, что

Если мы попытаемся вычислить другой вектор, беря несколько иное значение X, то найдем, что снова принимаем прямую последовательность, но будет полностью отличаться от своего прежнего значения. К сожалению, этот новый вектор х таков, что

где снова порядка Поэтому мы не получили точной информации об ортогональном к х направлении в подпространстве, натянутом на Однако интересно отметить, что если, используя первоначальное значение X, мы начнем с обратной последовательности вместо прямой, то в конце концов перейдем к обратной последовательности, а она совпадает с прямой последовательностью. Поэтому вычисленный вектор таков:

и он почти ортогонален вектору х из (61.1). Таким приемом мы получаем полную информацию о подпространстве из одного значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление