Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Выбор начального вектора b

54. Остается задача о выборе вектора Заметим, что мы не требуем, чтобы был выбран особенно хорошо, т. е. чтобы компонента с была одной из самых больших, мы требуем лишь, чтобы доля в разложении вектора не была слишком малой. Не найдено ни одного такого решения этой задачи, для которого можно было бы строго доказать его удовлетворительность во всех случаях, но следующий метод оказался на практике

достаточно эффективным, и есть веские основания верить в то, что он не может оказаться несостоятельным.

Соответственно хорошему приближению X выполняется исключение Гаусса с перестановками для матрицы так, как было описано в § 47. (Сейчас безразлично, выполняются ли вычисления с фиксированной или плавающей запятой.) Пусть сохраняются ведущие строки и множители вместе с информацией о перестановках. Поэтому наша последняя запоминаемая матрица будет иметь такой же вид, как для случая

Заметим, что ни одно из не может быть равно нулю, так как на каждом этапе преобразования ведущий элемент выбирается из а мы все еще предполагаем, что не равны нулю. Последний элемент конечно, может быть нулем, и в действительности он бы им и был, если бы X было точным собственным значением и точно выполнялись вычисления (см., однако, § 56).

Теперь выберем правую часть такой, чтобы при выполнении процесса исключения она давала в качестве преобразованной правой части вектор состоящий целиком из элементов, равных единице. Нам не нужно определять сам вектор Заметим, что есть функция от X, так что мы эффективно используем для каждого X различные правые части. Если теперь решаем систему

с помощью обратной подстановки, то тем самым выполняем один шаг обратной итерации. Если равно нулю, то мы можем заменить его на подходящее малое число, например Теперь может быть сделано столько шагов обратной итерации, сколько требуется, используя множители для выполнения преобразования и матрицу для обратной подстановки. До тех пор, пока мы не захотим вычислить следующий собственный вектор, относящийся к другому X, не потребуется никаких дальнейших триангуляризаций.

На практике мы обычно убеждались, что такой выбор настолько эффективен, что уже после первой итерации х было хорошим приближением к требуемому собственному вектору, а третья итерация реально никогда не была существенной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление