Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Квадратичные формы

26. Каждой вещественной симметричной матрице А мы можем сопоставить квадратичную форму от переменных

где это вектор с компонентами Соответственно каждой квадратичной форме можно сопоставить билинейную форму

Некоторые типы квадратичных форм имеют практический интерес. Квадратичная форма с матрицей А называется:

Матрица положительно определенной квадратичной формы называется положительно определенной матрицей.

Необходимым и достаточным условием положительной определенности является положительность всех собственных значений А. Действительно, мы знаем, что существует ортогональная матрица такая, что

Следовательно, если

то

Необходимым и достаточным условием положительности для всех ненулевых z является положительность всех Из (26.4) мы видим, что ненулевым z соответствуют ненулевые х, и наоборот; следовательно, результат установлен. Так как определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, определитель положительно определенной матрицы должен быть положительным.

Из уравнений (26.4) и (26.5) мы видим, что проблема нахождения ортогональной матрицы следовательно, собственных векторов А совпадает с проблемой нахождения главных осей поверхности второго порядка

и что обратны квадратам главных осей. Кратные собственные значения связываются с неопределенностью главных осей. В качестве типичного примера мы можем взять трехмерный эллипсоид с двумя равными главными осями. Одно из главных сечений в этом случае круг, и мы можем взять любые два его перпендикулярных диаметра в качестве главных осей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление