Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численные примеры

51. Рассмотрим теперь тривиальный численный пример для матрицы второго порядка. Пусть матрица С определена так:

и возьмем приближение имеет ошибку Рассмотрим собственный вектор, полученный исключением второго уравнения системы Мы имеем

откуда

Если исключим первое уравнение, то имеем

откуда

Рассматривая, что могло бы быть, если бы мы использовали точное значение видим, что второй вектор точнее. Первый вектор имеет только три верных знака, тогда как второй — почти восемь. Это предсказывалось нашим анализом предыдущего параграфа. Наибольшей компонентой является первая, поэтому нам следует исключить первое уравнение. Возвращаясь к вычислению собственного вектора, соответствующего находим, что теперь должно быть исключено второе уравнение. Заметим, что задача определения этих собственных значений и собственных векторов хорошо обусловлена. Поэтому трудности, которые здесь возникают, не могут быть отнесены к плохой обусловленности решаемой задачи.

52. Приведенный пример, конечно, был несколько искусственным, но это неизбежно для матриц столь малого порядка. В качестве второго примера рассмотрим матрицу из § 45. Она имеет хорошо разделенные собственные значения, и, следовательно, в силу симметрии задача определения собственных векторов хорошо обусловлена. Рассмотрим собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению Если мы имеем точное то собственный вектор может быть точно получен с помощью решения любых 20 из 21 уравнений

Предположим, что мы используем последние 20 уравнений, и возьмем Тогда

Далее, больше 10, и, следовательно, "если мы предположим, что

(см. скан)

Так как очевидно, что больше, чем то это показывает, что растут с уменьшением по крайней мере до и

В действительности также больше, чем так как

а лежит между 10 и 11. Следовательно, последняя компонента нормированного собственного вектора меньше, чем и поэтому в обозначениях § 49 мы имеем Поэтому явное решение (48.4), соответствующее приближенному к, имеющему ошибку лишь почти ортогонально

Это иллюстрируется табл. 9. Здесь есть точный собственный вектор, заданный с 8 знаками после запятой, вектор, полученный точным решением первых 20 уравнений Так как этот вектор трудно вычислять, мы не дали всюду одно и то же число знаков. Однако все приведенные знаки верные и они показывают поведение х. Заметим, что х есть вектор, соответствующий точному применению явных формул (48.4).

Вектор у есть вектор, который мы действительно получили из первых 20 уравнений при том же значении к, используя -значное вычисление с фиксированной запятой. Вследствие ошибок округления (и только их) у отличается от х, хотя в целом он ведет себя так же в том смысле, что его компоненты быстро уменьшаются до минимума и затем снова возрастают. Очевидно, что это неустойчивый процесс; ошибки округления, сделанные в более ранних компонентах, катастрофически увеличиваются в последних. Это может привести к заключению, что отклонение у от точного собственного вектора есть результат действия именно этих ошибок округления и что при определенной точности к должен бы получиться хороший собственный вектор, если мы решали первые 20 уравнений, используя арифметику повышенной точности. Для того чтобы показать ошибочность этого предположения, и дан вектор х.

Четвертый вектор z в табл. 9 есть точное решение первых 20 уравнений с и снова все приведенные знаки верные. Подобно вектору х компоненты сначала быстро уменьшаются, а затем увеличиваются, хотя последние компоненты здесь отрицательны. Из мы видим, что нет десятизначного значения к, для которого точное решение первых 20 уравнений дает что-либо похожее на

Наконец, мы даем вектор полученный решением последних 20 уравнений. Как показал наш анализ, компоненты быстро уменьшаются. После нормирования этот вектор совпадает с и до единицы восьмого знака.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление