Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Хаусхолдера в арифметике с фиксированной запятой

33. Метод, описанный нами в §§ 29, 30, не пригоден в том виде для работы с фиксированной запятой. При работе с плавающей запятой член эффективно представляется в виде Если элементы, которые определяют текущее преобразование, очень малы, то компоненты вектора будут много больше единицы. Уилкинсон (1960) дал другую формулу, где эффективно используется представление хотя при этом на каждом преобразовании нужно извлекать еще один квадратный корень. Для матриц высокого порядка время, затрачиваемое на извлечение дополнительных квадратных корней, незначительно по сравнению с общим временем счета, и кроме этого, в данной формуле легко удовлетворяются требования нормировки. Однако существуют формулы, в которых нет дополнительных извлечений квадратных корней, и сейчас мы опишем одну из них отчасти потому, что она нам потребуется в следующей главе, и отчасти потому, что ее анализ ошибок имеет некоторые поучительные особенности.

Вместо того чтобы работать непосредственно с воспользуемся нормированным вектором

Из (29.5) и (29.6) имеем

и

Теперь, если все малы, то вычисленное обычно будет иметь сравнительно большую относительную ошибку. Тем не менее очевидно, что все вычисленные элементы вектора будут ограничены по модулю единицей, хотя вычисленный может существенно отличаться от вектора, точно соответствующего заданным Для того чтобы быть уверенными в ортогональности матрицы преобразования, мы должны взять

место правой части (33.3).

Теперь можно вычислить в такой последовательности:

Так как то с различных точек зрения необходимо ввести в эту формулу множитель Более удобный путь действия в некоторой степени зависит от особенностей фиксированной запятой, однако этот вопрос мы разбирать не будем.

Здесь мы имеем другую ситуацию по сравнению с той, к которой привыкли в нашем анализе ошибок. Вычисленная матрица преобразования может значительно отличаться от той, которая соответствует точному вычислению по уже полученной матрице это совсем неважно. В силу того, что вычисленная величина имеет малую относительную ошибку и, следовательно, матрица, полученная из (33.4), почти ортогональна; далее, элементы матрицы в соответствующих позициях с рабочей точностью равны нулю. Это единственные требования, которые мы должны выполнить.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление