Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Элементарные свойства эрмитовых матриц

23. Все собственные значения эрмитовых матриц вещественны. Действительно, если

то

Число вещественно и положительно для ненулевых х. Далее мы имеем

и так как скаляр, это значит, что он веществен.

Следовательно, X вещественно. Для вещественных симметричных матриц вещественность собственных значений означает и вещественность собственных векторов, но собственные векторы комплексных эрмитовых матриц, вообще говоря, комплексны.

Если то для эрмитовой матрицы

и переходя к комплексному сопряжению в обеих частях, получим

Собственные векторы транспонированной эрмитовой матрицы, следовательно, равны комплексно сопряженным собственным векторам самой матрицы. В обозначениях § 3

Величины играющие важную роль в теории, для эрмитовых матриц становятся Из общей теории § 3 немедленно следует, что если эрмитова матрица имеет различные собственные значения, то ее собственные векторы удовлетворяют соотношениям

Если мы нормируем так, что

то из уравнении (23.7) и (23.8) следует, что матрица X, образованная из собственных векторов, удовлетворяет соотношению

Матрицы, удовлетворяющие уравнениям (23.9), называются унитарными матрицами. Вещественные унитарные матрицы называются ортогональными матрицами.

Итак, доказано для эрмитовых и вещественных симметричных матриц с различными собственными значениями следующее.

(I) Если А — эрмитова, то существует унитарная матрица такая, что вещественные).

(II) Если А — вещественная симметричная, то существует ортогональная матрица такая, что вещественные).

Может быть наиболее важным свойством эрмитовых (вещественных симметричных) матриц является то, что свойства (I), (II), которые мы пока что доказали для случая различных собственных значений, остаются справедливыми и в случае кратных собственных значений. Доказательство этого отложим до § 47.

Из этого основного результата немедленно вытекают следствия:

(i) все элементарные делители эрмитовой матрицы линейны;

(ii) если некоторые собственные значения эрмитовой матрицы кратны, то она неполная;

(iii) эрмитова матрица не может быть недостаточной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление