Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Вычисление cos a и sin a

12. До сих пор вопрос о вычислении угла вращения не затрагивался, но следует отметить, что оно не покрывается анализом, данным в гл. 3, § 20. На практике требуется значительное внимание к деталям, если мы хотим обеспечить, чтобы:

(i) было очень близко к единице, так что матрица преобразования действительно была бы почти ортогональна и преобразованная матрица почти подобна исходной;

(ii) было очень мало, так что мы вправе заменить нулем.

Опустим индекс и напишем

где

Тогда для , лежащего в пределах формально имеем

где должен выбираться положительным, иметь такой же знак, как и

Теперь, если х мало по сравнению с уравнения (12.3) дают очень неудовлетворительное определение Для десятизначных десятичных вычислений как с фиксированной, так и с плавающей запятой (12.3) дает для всех значений удовлетворяющих неравенству Итак, хотя условие (i) выполняется, условие нет.

С другой стороны, если используется плавающая запятая, определение из (12.3) вполне удовлетворительно. Действительно, из гл. 3, §§ 6 и 10 имеем

Объединяя эти результаты, получаем

где есть точное значение, соответствующее Здесь и далее оценки, которые мы даем, неточные; часто их можно будет улучшить с помощью более подробного анализа. Значение для может быть получено из соотношения

Используя плавающую арифметику и вычисленное значение с, имеем

откуда, учитывая (12.4) и (12.5), можем заключить, что

Итак, имеют малые относительные ошибки по сравнению с точными значениями, соответствующими данным х и у. Теперь ясно, что условие (ii) при вычисленных значениях выполняется.

13. Если могут быть накоплены скалярные произведения, то для того, чтобы получить аналогичные результаты с фиксированной запятой, очень хорош следующий способ. Вычисляем точно и затем выбираем наибольшее целое число , для которого

Далее выполняются вычисления, использующие вместо х и у в уравнении (12.3) для и в уравнении (12.6) для

Если же скалярные произведения не могут быть накоплены, то мы можем написать

для и соответствующие выражения для (ср. гл. 3, § 30).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление