Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численные примеры

11. Табл. 1 и 2 иллюстрируют как сам процесс, так и квадратичную сходимость на последних этапах. Заметим, что нам не нужно делать преобразования и строки и столбца, за исключением четырех элементов, стоящих на пересечении соответствующих строк и столбцов, причем два из этих элементов становятся нулями.

Таблица 1 (см. скан)

Таблица 2 (см. скан)

Храня и вычисляя лишь наддиагональные элементы и предполагая, что соответствующие поддиагональные элементы должны быть равны им, мы сохраняем точную симметрию. Поэтому требуется выполнить примерно умножений при каждом вращении и умножений при каждом цикле. Элементы, которые изменяются в матрице шестого порядка при вращении в плоскости указаны на

следующей схеме:

Пример в табл. 1 выбран так, чтобы после первого вращения все внедиагональные элементы были малыми по сравнению с разностями между диагональными элементами. Все последующие вращения имеют малые углы и внедиагональные элементы, которые в данный момент не делаются нулями, изменяются так мало, что с рабочей точностью в четыре десятичных знака остаются постоянными.

Пример в табл. 2 выбран для иллюстрации того факта, что наличие пары близких диагональных элементов не задерживает начало квадратичной сходимости. Мы взяли первые два диагональных элемента равными, а все внедиагональные элементы малыми. Первое вращение (в плоскости (1, 2)) имеет угол, равный Оно делает элемент нулем и оставляет другие внедиагональные элементы величинами прежнего порядка. Угол второго вращения (в плоскости (1, 3)) мал, так как первый и третий диагональные элементы не близки. То же самое относится к вращению и в конце цикла все внедиагональные элементы становятся нулями с рабочей точностью.

Очевидно, что если есть любое число пар близких (или совпадающих) диагональных элементов, то применимо такое же рассуждение, но оно неверно, если существует группа из трех и более элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление