Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Классический метод Якоби для вещественных симметричных матриц

3. В методе Якоби (1846) исходная матрица преобразуется в диагональную с помощью последовательности плоских вращений. Строго говоря, число плоских вращений, необходимых для приведения к диагональному виду, бесконечно. Это следует ожидать, так как в общем случае мы не можем найти корни полинома за конечное число шагов. На практике процесс заканчивается тогда, когда внедиагональные элементы становятся

незначительными по сравнению с рабочей точностью. Для вещественных симметричных матриц мы применяем вещественные плоские вращения.

Если мы обозначим исходную матрицу через то процесс Якоби можно описать следующим образом. Строится последовательность матриц

где матрица определяется по таким правилам. (Заметим, что мы использовали запись а не для того, чтобы согласовать ее с нашим общим анализом из главы 3.)

Предположим, что максимальный по модулю внедиагональный элемент находится в позиции тогда соответствует вращению в плоскости и угол вращения выбирается таким образом, чтобы сделать элемент матрицы нулем. Мы имеем

где предполагается, что меньше Матрица отличается от лишь строками и столбцами с номерами и все — симметричные. Измененные элементы определяются по формулам

Так как должен быть нулем, то

Мы всегда будем брать в пределах

и если то берем равным в зависимости от знака Предполагаем, что так как в противном случае диагонализация уже закончена. По существу этот процесс итерационный, так как элемент, который сделан нулем при одном вращении, становится, вообще говоря, ненулевым при последующих вращениях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление