Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. ЭРМИТОВЫ МАТРИЦЫ

Введение

1. В этой главе опишем методы решения проблемы собственных значений для эрмитовых матриц. Мы не будем предполагать, что матрица имеет много нулевых элементов или специальна в каком-либо другом отношении. Методы, предназначенные для таких матриц, будут обсуждаться в последующих главах.

В главах 1, 2 и 3 мы видели, что проблема собственных значений для эрмитовых матриц проще, чем для матриц общего вида. Эрмитова матрица А всегда имеет линейные элементарные делители, и всегда существует унитарная матрица такая, что

Далее, собственные значения вещественные, и, как мы показали в гл. 2, § 31, малые возмущения в элементах А обязательно приводят к малым возмущениям в собственных значениях. Если матрица возмущений эрмитова, то собственные значения остаются вещественными (гл. 2, § 38). Хотя собственные векторы не обязательно хорошо определены, их плохое определение должно быть связано с близкими собственными значениями, так как в (10.2) из главы 2.

2. В большей части этой главы мы ограничимся вещественными симметричными матрицами. Для таких матриц матрица из равенства (1.1) может быть взята вещественной и поэтому ортогональной. Следует помнить, что комплексные симметричные матрицы не обладают ни одним из важнейших свойств вещественных симметричных матриц (гл. 1, § 24).

Большинство из методов решения проблемы собственных значений для матрицы А общего вида основано на выполнении ряда подобных преобразований, которые переводят А в матрицу специального вида. Для эрмитовых матриц особенно выгодно использование унитарных преобразований, так как при этом сохраняется эрмитовость со всеми присущими ей достоинствами. В методах, описанных в этой главе, мы используем элементарные унитарные преобразования, введенные в гл. 1, §§ 43—46.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление