Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Инвариантные множители

20. Если А— квадратная матрица, то -матрица ранга следовательно, имеет инвариантных множителей каждый из которых делит последующие. Свяжем инвариантные множители с определителями матриц Фробениуса в канонической форме Фробениуса. Пусть В — каноническая форма Фробениуса матрицы А, так что существует такая, что

и следовательно,

Так как матрицы и неособенные и не зависят от эквивалентна

Рассмотрим инвариантные множители Их общий вид достаточно наглядно виден на простом примере. Пусть имеет вид

Из § 14 мы знаем, что в последовательности каждый полином делится на последующие.

Перебирая ненулевые миноры, мы видим, что н. о. д. для -строчных миноров, таковы:

Следовательно, инвариантные множители равны

Очевидно, что наш результат легко обобщается, так что инвариантные множители не равные единице, равны характеристическим полиномам подматриц в канонической форме Фробениуса. Основной результат относительно подобия и -эквивалентности следующий.

Для того чтобы А была подобна 5, необходимо и достаточно, чтобы и были эквивалентны.

По этой причине инвариантные множители иногда называют инвариантами подобия А.

Снова из § 14 следует, что если мы напишем

где это различные собственные значения А, то множители в правой части (20.6) — элементарные делители А.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление