Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Триангуляризация плоскими вращениями

50. Наконец, рассмотрим триангуляризацию плоскими вращениями (Гивенс, 1959). Она очень близка к алгорифму, основанному на использовании матриц Аналогично алгорифму § 48 мы имеем алгорифм, в котором основной шаг состоит из левых умножений на матрицы вращения соответственно в плоскостях причем нули в столбце получаются один за одним; основной шаг состоит в следующем (отметим аналогию с § 48).

Для каждого значения от до

(i) Вычисляем

(ii) Вычисляем Если берем Записываем на место

(iii) Для каждого значения от до

Вычисляем и записываем их соответственно на места .

(iv) Вычисляем и записываем их соответственно на места .

Заметим, что для хранения информации о вращении у нас теперь не хватает места в позиции того элемента, который становится нулем, так как нужно разместить как , так и . Конечно, мы могли бы сохранить лишь один из них, так как другой можно получить, но это нецелесообразно, и если должна быть гарантирована численная устойчивость, нам нужно хранить меньший из них и помнить, который из двух запоминается!

51. Преобразования можно модифицировать таким же способом, как было описано в § 49. В этой модификации строки с -й до -й не изменяются на первых шагах. Теперь r-й основной шаг таков.

Для каждого значения от 1 до :

(i) Вычисляем

(ii) Вычисляем . Записываем х на место .

(iii) Для каждого значения и записываем их соответственно на места и

Так как каждая из матриц вращения имеет определитель, равный то главный минор порядка определяется после выполнения основного шага

Будем называть триангуляризацию с помощью плоских вращений триангуляризацией Гивенса, независимо от того, организована ли она, как в § 50 или так, как мы только что описали.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление