Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Разложение Холецкого

42. Если матрица А симметричная и положительно определенная, то диагональные элементы могут быть выбраны таким образом, чтобы была вещественной и Доказательство проведем по индукции. Предположим, что это верно для матриц до порядка. Теперь, если есть положительно определенная матрица порядка мы можем написать

где матрица главного минора порядка и поэтому положительно определенная (гл. 1, § 27). Следовательно, по предположению, существует матрица такая, что

Очевидно, что невырожденная, так как поэтому существует вектор с такой, что

Для любого значения х

так что, если мы определим х соотношением

то имеем треугольное разложение Чтобы показать, что вещественное, возьмем определители от обеих частей (42.4), тогда

Правая часть положительная, потому что положительно определена, и, следовательно, вещественное и может быть взято положительным. Утверждение доказано, так как оно верно для Заметим, что

Итак, если то и далее

что показывает, что симметричное разложение может быть выполнено в арифметике с фиксированной запятой. Очевидно, что никаких перестановок не требуется. Это симметричное разложение предложено Холецким.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление