Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Матрицы специального вида

33. Есть три специальных класса матриц, которые имеют большое значение в решении проблемы собственных значений для которых выбор ведущего элемента осуществляется много проще. Доказательство следующих результатов дано очень кратко, так как оно просто и детально разобрано Уилкинсоном (1961b).

Класс Матрицы Хессенберга. Мы назовем матрицу А верхней матрицей Хессенберга, если

Аналогично будем говорить, что А есть нижняя матрица Хессенберга, если

так что, если верхняя матрица Хессенберга, то нижняя. Если мы выполняем исключение Гаусса с выбором главного элемента по столбцу для верхней матрицы Хессенберга, то перед началом основного шага будет такого же вида, как матрица

соответствующая Здесь мы выделили нули, полученные на предыдущих шагах. Матрица, стоящая в нижнем правом углу, сама является верхней матрицей Хессенберга. Элементы в строках от до те же, что Есть лишь две строки в соответствующей матрице, в которые входят так что равно или или Можно сказать, что в зависимости от того, или перестановка на шаге имеет место или нет. Из вышесказанного вытекает, что если

и каждый столбец (переставленной ) имеет лишь один поддиагональный элемент. Если, например, для матрицы шестого порядка перестановки имеют место на шагах 1, 3, 4, то такова:

Если исключение Гаусса требуется выполнить для нижней матрицы Хессенберга, то неизвестные следует исключить в порядке так что окончательная матрица будет нижней треугольной. В любом случае использование выбора главного элемента по всей матрице разрушает простую структуру элементов, а так как для имеем теперь существенно лучшую оценку, то в этом процессе нет особой необходимости.

Класс II. Трехдиагональные матрицы. Мы определили трехдиагональные матрицы в гл. 3, § 13; из этого определения вытекает, что трехдиагональные матрицы являются одновременно как верхними, так и нижними матрицами Хессенберга. Поэтому результаты, которые мы получили для верхних матриц Хессенберга, справедливы и для трехдиагональных матриц, но допускают дальнейшее упрощение. Здесь имеет тот же вид,

что и прежде, тогда как таковы

Элемент равен нулю, если только не было перестановки на шаге. Из простого индуктивного доказательства следует, что если

то

Класс III. Положительно определенные симметричные матрицы. Для матриц этого типа исключение Гаусса вполне устойчиво без какого-либо специального выбора ведущих элементов. Мы можем показать, что если, как и в § 18,

то сама положительно определенная и симметричная на каждом шаге, и если то (смотри, например, Уилкинсон (1961b)). Опускаем доказательство, так как хотя триангуляризация положительно определенных матриц чрезвычайно важна для наших приложений, мы не будем для этого использовать исключение Гаусса.

Заметим, что мы не утверждаем, что все элементы ограничены единицей, и в действительности это может быть неверно. В качестве иллюстрации рассмотрим матрицу

для которой Это означает, что мы должны использовать арифметику с плавающей запятой, однако большие множители не могут привести к увеличению максимального из элементов преобразованных матриц. В нашем примере Наш анализ показал, что эквивалентное возмущение исходной матрицы на каждом шаге не больше, чем сами ошибки. Так как все элементы всех преобразованных матриц ограничены единицей, ошибки округления не могут быть большими.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление