Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Треугольное разложение

17. Объединяя уравнения (15.7) с для от 1 до имеем

Первое из уравнений дает

где есть нижняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами и поддиагональными элементами, равными и определенными в (16.1). В произведение не входит ни одно произведение Итак, метод Гаусса дает нижнюю треугольную матрицу с единичными диагональными элементами и верхнюю треугольную матрицу такие, что их произведение равно

Если А о может быть представлена таким произведением (ср. § 20) и невырождена, то представление единственно. Пусть

где нижние треугольные матрицы с единичными диагональными элементами и верхние треугольные; так как

не могут быть вырожденными. Следовательно, (17.3) дает

Матрица в левой части есть произведение двух нижних треугольных матриц с единичными диагональными элементами и поэтому сама такая же, тогда как матрица в правой части верхняя треугольная. Итак, оба произведения должны быть единичными матрицами, и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление