Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Введение

1. Детальное сравнение численных методов решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей было дано в одной из книг этой серии (Фокс, 1964). Но так как мы время от времени будем заниматься этими задачами, нам нужно их обсудить. Большинство из систем, которые мы должны будем решать, очень плохо обусловлено, и важно, чтобы значение этого факта было полностью оценено. Изучение систем линейных уравнений даст также возможность приобрести некоторый опыт в анализе ошибок и рассмотрении устойчивости на более простых односторонних эквивалентных преобразованиях, прежде чем переходить к подобным преобразованиям. Поэтому сначала рассмотрим те факторы, которые определяют чувствительность решения системы уравнений

к изменению матрицы А и правой части Будем иметь дело лишь с такими системами, у которых матрица А квадратная.

Теория возмущений

2. Рассмотрим сначала чувствительность решения (1.1) к возмущению в Если изменяется до к и

то, вычитая (1.1), имеем

так что

и, следовательно,

Обычно мы будем интересоваться относительной ошибкой, и для нее

так что может рассматриваться как число обусловленности для этой задачи. Если очень велико, то этот результат будет очень пессимистичен для большинства правых частей и возмущений k. При этом большинство будут такими, что

но всегда существуют такие для которых (2.5) реально.

3. Обращаясь к эффекту возмущения можем написать

откуда

Даже если А невырожденная (а мы, конечно, предполагаем это), может быть вырожденной, если на не наложено никаких ограничений. Записывая

видим, что будет невырожденной, если

Предполагая выполненным это условие, имеем

и, следовательно,

если только

Для вычисления относительной ошибки нам интересна какая-нибудь оценка для через Мы можем записать (3.6) в виде

и опять величина является решающей. В качестве числа обусловленности наиболее часто используется Обычно оно обозначается через к и называется спектральным числом обусловленности А для задачи обращения. Теперь мы видим из гл. 2, §§ 30, 31, что спектральное число обусловленности матрицы А для ее проблемы собственных значений есть спектральное число обусловленности ее матрицы собственных векторов для задачи обращения.

При выводе соотношений (3.6) и (3.8) мы заменили на Всегда будут существовать такие возмущения, при которых эта замена пессимистична. Если, например, то для (3.6)

и видно, что число обусловленности сюда не входит.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление