Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Преобразования эквивалентности

15. Мы видели, что собственные значения матрицы инвариантны по отношению к преобразованиям подобия. Рассмотрим сейчас кратко более широкий класс преобразований. Назовем матрицу В эквивалентной матрице А, если существуют неособенные (обязательно квадратные) матрицы

Р и Q такие, что

Заметим, что не обязательно должны быть квадратными, но они должны быть одинаковых размеров. Из теоремы об определителе произведения двух прямоугольных матриц (иногда известной как теорема Бине — Коши; см., например, Гантмахер, 1967) следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.

Отношение эквивалентности, которое мы сейчас рассмотрели, существенно при решении систем линейных уравнений. Действительно, если х удовлетворяет уравнению

то ясно, что х удовлетворяет и уравнению

при любой матрице Если, далее, неособенная, то любое решение (15.3) есть решение (15.2), что можно увидеть, умножая (15.3) на Теперь рассмотрим замену переменных

где неособенная. Тогда

и из любого решения у (15.5) можем получить решение и обратно. Уравнения (15.2) и (15.5) могут быть, следовательно, рассмотрены как эквивалентные.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление