Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Отношение Релея

54. Если дан произвольный вектор у, то мы можем выбрать значение так, чтобы была минимальной. Обозначив и предполагая, что имеем

Очевидно, что минимум достигается для Эта величина называется отношением Релея, соответствующим Мы обозначим его через Термин «отношение» используется потому, что если ненормирован, то соответствующее значение есть Очевидно, что если

то

Если для некоторого мы имеем

то

Круг с центром имеет радиус, который по крайней мере настолько же мал, как и радиус, соответствующий любому другому Отношение Релея определено для любой матрицы, но оно имеет особое значение для нормальных матриц, что мы сейчас покажем. Предположим, что мы имеем

и знаем, что из собственных значений удовлетворяют соотношению

где а — некоторая константа. Можем считать соответствующие собственные значения равными Теперь, если А нормальная, то она, конечно, имеет ортогональную систему собственных векторов и мы можем написать

Уравнение (54.6) поэтому дает

и, следовательно,

(54.10)

Отсюда выводим, что

Если мы определим соотношением

то

и, следовательно,

Из (54.14) видим, что если то есть хорошее приближение к Постоянный множитель имеет небольшое значение. По мере того как а уменьшается, результат постепенно ослабевает до тех пор, пока а не будет величиной порядка когда он больше уже непригоден. Заметим, что результаты, полученные до сих пор, не предполагают, что есть отношение Релея.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление