Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Апостериорные оценки для нормальных матриц

53. Предположим, что мы имеем приближенное собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы А. Тогда рассмотрим вектор определенный равенством

Обычно он называется вектором-невязкой, соответствующим Если точные, то должен быть нулевым. Следовательно, если мал, мы могли бы ожидать, что будет хорошим приближением к собственному значению.

Если А имеет линейные делители, то существует такая, что

Итак, из (53.1)

Возможны два случая:

(i) для некоторого i;

(ii) для любого при этом (53.2) дает

и, следовательно,

для любой нормы такой, что норма диагональной матрицы равна модулю наибольшего ее элемента.

Таким образом, используя -норму,

где к такое же, как в § 51. Соотношение (53.5), очевидно, удовлетворяется в случае следовательно, мы можем заключить, что всегда существует по крайней мере одно собственное значение матрицы А в круге с центром и радиусом к Очевидно, что не теряется никакой общности в предположении, что и мы будем делать его в дальнейшем. Так как, вообще говоря, мы не имеем априорной оценки к, то этот результат обычно практически не очень важен, если только у нас нет больше информации о собственной системе. Однако если А — нормальная, то мы знаем, что к — 1, и тогда наш результат показывает, что существует по крайней мере одно собственное значение в круге с центром и радиусом

Существует другой путь рассмотрения уравнения (53.1), который связывает этот результат с результатом главы 2. Уравнение (53.1) означает, что

и,следовательно, будут точным собственным значением и собственным вектором матрицы Из гл. 2, § 30 мы знаем, что все собственные значения лежат в кругах

и это приводит к тому же самому результату, который мы только что получили.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление