Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Отклонение от нормальности

50. Для того чтобы получить оценки ошибок, получающихся при использовании данного алгорифма, нам нужны не только оценки для эквивалентных возмущений в исходной матрице, но и оценки чувствительности требуемых величин. Естественно спросить, существует ли какой-либо простой путьоценки фактора чувствительности в случае проблемы собственных значений. Как мы знаем из главы 2, (31.2), если А нормальная, то собственные значения лежат в кругах

Поэтому мы могли бы ожидать, что если А «почти нормальная матрица», то ее собственные значения должны быть мало чувствительны. Если А — нормальная, то (гл. 1, § 48) существует унитарная матрица такая, что

тогда как (гл. 1, § 47) для произвольной матрицы существует унитарная такая, что

где строго верхняя треугольная, т. е.

Было бы разумно рассматривать как меру отклонения А от нормальности.

Хенричи (1962) использовал соотношение (50.3) для получения оценок влияния возмущений в А на ее собственные значения следующим образом. Пусть определена соотношением

так что

Если X есть некоторое собственное значение матрицы то вырождена. Мы различаем два случая:

(i) для некоторого i,

(ii) для любого при этом не вырождены.

Итак,

откуда

Уравнение (50.8) означает, что

где

в силу того, что строго верхняя треугольная. Полагая

имеем

Заметим, что этот результат верен и тогда, когда мы заменяем с на любую большую величину. Далее

и, следовательно, (50.13) показывает, что существует такое, что

Этот же результат имеет место и тогда, когда с заменяется на

Так как в случае (i) очевидно, что соотношение (50.15) верно, оно верно и во всех случаях. Если А — нормальная, то приводит к (50.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление