Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Неунитарные элементарные матрицы, аналогичные матрицам отражения

47. Аналогичным путем, рассматривая проблему § 37, мы можем ввести неунитарные матрицы, которые аналогичны матрицам отражения. Задача состоит в том, чтобы по заданному вектору х определить матрицу такую, чтобы имела нули в компонентах от до тогда как компоненты с 1-й по не изменяются. Пусть рассматривается левое умножение х на (гл. 1, § 40 (vi)). Если мы напишем

то

и беря

мы видим, что условия удовлетворяются, но элементы могут быть произвольно большими или даже бесконечными, и это будет приводить к численной неустойчивости. Устойчивость достигается следующим образом. Предположим, что максимум значения

достигается для Тогда вектор у определяется равенством

т. е. получается из х перестановкой элементов Следовательног

и если мы теперь выберем так, чтобы имел нулевые компоненты в позициях от до , то имеем

и

Итак, матрица имеет элементы, которые по модулю ограничены единицей, и мы достигли в некоторой степени численной устойчивости. В действительности имеем

Обозначим матричное произведение через Если то берем Очевидно, что может быть использована для достижения такого же эффекта, как при произведении хотя, начиная с того же х, мы, вообще говоря, не будем иметь

Однако уравнение (47.9) будет удовлетворено, если не требуются перестановки. Процесс выбора в этом смысле наибольшего элемента из заданной совокупности обычно называется выбором главного элемента.

Аналогично алгорифмам, в которых мы используем совокупность матриц отражения имеющими нулевые компоненты в позициях с 1-й по мы имеем алгорифмы, в которых используем матрицы Мы опять, как правило, не сможем дать общий анализ ошибок, приводящий к оценкам, аналогичным тем, которые дали для преобразований, основанных на матрицах отражения. Будем называть устойчивыми элементарными матрицами.

Как и раньше, найдем, что существует несколько алгорифмов, основанных на элементарных подобных преобразованиях, в которых недопустимо использование перестановок на каждом шаге, так как это могло бы разрушить важную структуру нулей, полученных предыдущими преобразованиями. Некоторые алгорифмы могут быть неустойчивыми и нуждаются в тщательном рассмотрении. Они не имеют аналогов, основанных на матрицах отражения, так как их использование неизбежно уничтожало бы структуры нулей таким же образом, как и использование перестановок.

Повсюду в этой книге мы неоднократно будем сталкиваться с необходимостью выбора между использованием элементарных унитарных матриц и элементарных устойчивых матриц. Вообще говоря, элементарные устойчивые преобразования будут несколько проще, но, с другой стороны, мы не сможем дать для них столь хорошей гарантии численной устойчивости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление