Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Левое умножение на приближенную матрицу отражения

42. По аналогии с исследованием плоских вращений нам теперь нужна оценка для

Очевидно, что левое умножение оставляет первые строк А неизменными, а последние строк умножаются на (или на с ошибками округления). Поэтому матрица ошибок (42.1) нулевая в своих первых строках, и, не теряя общности, можно рассматривать левое умножение матрицы А из строк и столбцов на матрицу имеющую для своего соответствующего вектор порядка с ненулевыми компонентами.

Мы берем в факторизованной форме так что неравенства § 39 и (40.3) удовлетворяются. Имеем

Итак, нам нужна оценка для матрицы которая является матрицей ошибок, действительно возникающих при левом умножении. Заметим, что оценка ошибки, которую мы дали в (9.14), неприменима к вычислению так как для экономии объема вычислений используется в факторизованной форме. Для того чтобы подчеркнуть тот факт, что мы имеем дело лишь с ошибками, сделанными при левом умножении, введем определенные равенствами

так что

и

43. Мы можем выделить этапы в вычислении точного и приближенного следующим образом:

Поэтому компонента дается равенством

где из (9.2) и (9.5) имеем заведомо

Следовательно,

где

Отсюда

Итак,

и, принимая во внимание предположение (5.2), что мы можем написать

Для компоненты матрицы В справедливы соотношения

Если мы определим равенством

то

Следовательно,

поэтому

откуда выводим

44. Теперь нам нужны оценки для каждого члена правой части через Из (43.1) и (40.3) вытекает

из

из

Объединяя эти результаты, имеем

и вспоминая, что из соотношения (42.3) получаем

Возвращаясь к общему случаю, непосредственно получаем

где есть матрица, состоящая из последних строк А. На практике, когда один из столбцов А является вектором по которому определяется мы не вычисляем в действительности элементы а автоматически приписываем соответствующее число нулевых элементов и даем оставшемуся элементу значение Соответствующие значения в будут нуль и так что единственный вклад в матрицу ошибок согласно (39.9) есть элемент Поэтому специальный прием для такого столбца покрывается нашим общим анализом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление