Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ошибки в подобных преобразованиях

35. Наш анализ немедленно дает оценки для ошибок, сделанных в последовательности подобных преобразований. Действительно, если мы вычисляем

перемножая матрицы в любом порядке, то

при условии, что

Однако пары чисел, которые определяют часто будут элементами 1, и в этом случае вычисления будут выполняться в следующем порядке:

В этом случае выгодно рассмотреть совместно левое и правое умножения» Мы определим соотношением

так что

Следовательно,

где мы заменили на При условии для всех соответствующих мы имеем теперь

Здесь матрица ошибок, сделанных при вычислении из Если вращение в плоскости то преобразование влияет лишь на элементы строк и столбцов и, следовательно, в остальных местах нулевая. Помимо четырех элементов, стоящих на пересечении, при левом умножении изменяются лишь строки а при правом — столбцы Поэтому имеем

для всех к Аналогично

Элементы четырех точек пересечения изменяются как при левом, так и при правом умножении, и мы их сейчас рассмотрим подробно. Предположим, что сначала выполняется левое умножение. Ошибки, сделанные при левом

умножении в этих четырех позициях, будут такими же по величине, как и ошибки, сделанные в остальных элементах строк Поэтому мы можем обозначить полученные значения через

где соответствуют точному левому умножению на Далее, значения, полученные после правого умножения, могут быть выражены в виде

где каждое удовлетворяет неравенству

Если мы обозначим ошибки в этих позициях при смешанной операции (относительно через

то

Эта же оценка, очевидно, пригодна для и, следовательно, например, при

Здесь симметричная матрица, образованная из единичных элементов, имеет характеристическое уравнение

и, следовательно, ее -норма есть -норма оставшейся матрицы из четырех элементов не больше чем Объединяя эти результаты, получим

и поэтому из (35.7)

Соответствующее требование первоначальной нормировки таково:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление