Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Симметричные матрицы

28. Если исходная матрица симметричная, мы будем брать все точно симметричными. Поэтому наш анализ не сразу применим, так как. если вращение выполняется в плоскости то элементы ниже диагонали не вычисляются в действительности при каждом преобразовании, а им

автоматически приписывается то же самое значение, что и элементам выше диагонали. Если мы предполагаем, что симметричная, то даже если вычисления в действительности были выполнены с использованием приближенного плоского вращения, точная симметрия должна будет сохраниться, за исключением, возможно, элементов в позициях

По-видимому, невозможно показать каким-либо простым способом, что оценка ошибки, которую мы получили для несимметричного случая, пригодна для распространения на симметричный случай, но сравнительно просто показать, что она увеличится не более чем в 21/2. Основной момент состоит в следующем.

Если мы выполним полное преобразование в плоскости (1,2), используя сначала или левое или правое умножение, то матрица ошибок будет нулевая, за исключением 1-й и 2-й строк и столбцов, и будет симметричная, кроме элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов. Мы можем обозначить ошибки в этих позициях через

соответственно. Обе матрицы ошибок будут одинаковыми в других местах этих строк и столбцов. Теперь, если мы предполагаем полную симметрию ошибок в позициях, соответствующих (28.1), то будет

Сумма квадратов ошибок для каждого из четырех случаев есть соответственно I

где сумма квадратов остальных ошибок (она одинакова во всех четырех случаях). Поэтому мы окончательно имеем

и это дает множитель 21/2 евклидовой норме. Очевидно, что этот результат очень слабый. Действительно, множитель мог бы быть более реальным, чем 21/2, потому что общая матрица ошибок, соответствующая обоим левому и правому умножениям, есть матрица вида

В оценке § 27 мы считали отдельно евклидовы нормы вкладов строки столбца. Если бы это не было сделано для элементов мы могли бы получить множитель для совместного вклада.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление