Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Решение алгебраической проблемы собственных значений долго привлекало мое внимание, потому что оно очень хорошо выявляет разницу между тем, что может быть названо классической математикой и практическим численным анализом. Проблема собственных значений имеет обманчиво простую формулировку, и теоретическое ее обоснование известно уже в течение многих лет; в то же время определение точных решений представляет обширное многообразие нерешенных проблем.

Предложение написать книгу на эту тему в серии монографий по численному анализу было сделано мне профессором Фоксом и доктором Гудвином после моих ранних опытов на автоматических цифровых машинах. Возможно, что ее написание осталось бы благим намерением, если бы не приглашение профессора Гивенса принять участие в симпозиуме в Детройте в 1957 г., которое привело к последующему приглашению прочесть лекции на тему «Практическая техника для решения линейных систем и вычисления собственных значений и собственных векторов» в летней школе, организованной Мичиганским университетом. Для этих лекций необходимо было ежегодно готовить материал, что оказалось очень ценным, так как, таким образом, многие результаты этой книги были рассказаны в процессе их получения.

Мой первоначальный план состоял в изложении ряда известных приемов для решения проблемы вместе с критическим обсуждением их достоинств, сопровождаемым, где это возможно, соответствующим анализом ошибок; в 1961 г. рукопись, написанная по этому плану, была готова. Однако в период приготовления рукописи произошел существенный прогресс как в решении проблемы собственных значений, так и в анализе ошибок, и меня все более не удовлетворяли ранние главы. В 1962 г. я принял решение перепланировать всю книгу, изменив первоначальную цель. Я почувствовав, что не имеет смысла рассматривать почти все известные методы и приводить для них анализ ошибок, и решил включить в книгу главным образом те методы, по которым я имел обширный практический опыт. Я включил также дополнительную главу, дающую достаточно общий анализ ошибок, который приложим почти ко всем методам, данным впоследствии. Многолетний опыт убедил меня, что не легко дать надежную оценку метода без его использования и что сравнительно часто незначительное изменение в деталях практического процесса имеет непропорциональное влияние на его эффективность.

Автор книги по численному анализу находится перед трудной проблемой определения круга читателей, которому она должна быть предназначена. Практическая трактовка проблемы собственных значений потенциально интересна широким кругам, в число которых входят инженеры, физики-теоретики, классические математики-прикладники и вычислители, желающие проводить исследования в теории матриц. Книга, адресованная главным образом последним читателям, может оказаться недоступной

для первых. Я ничего не опустил из-за боязни, что это может быть трудным некоторым читателям, но старался описать все настолько элементарно, насколько это позволял предмет. Дилемма была особенно остра в первой главе. Я надеюсь, что данное в ней элементарное изложение не обидит серьезного математика и что он рассмотрит это как грубую наметку классического материала, с которым он должен быть знаком, если он хочет извлечь пользу из книги от начала до конца. Я предположил с самого начала, что читатель знаком с основными понятиями векторного пространства, линейной зависимости и ранга. Великолепное введение к материалу этой книги дано в книге Фокса (L. Fox, An introduction to numerical linear algebra, Oxford, 1964.) Научные сотрудники, работающие в этой области, найдут неоценимый источник информации в книге Хаусхолдера (A. S. Householder, The theory of matrices in numerical analysis, Blais-dell, 1964).

Мое решение излагать только те методы, с которыми я имел дело, неизбежно привело к тому, что были опущены многие важные алгорифмы. Однако этот пробел менее серьезен, чем он мог бы быть, так как монографии Е. Durand, Solutions numeriques des equations algebrique (Masson, 1960) и «Вычислительные методы линейной алгебры» Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой (Москва, 1963) содержат очень обширное описание. Однако два пропуска требуют специальной оговорки. Первый — это метод типа Якоби, развитый Эберляйн, и разные его модификации, предложенные независимо Рутисхаузером. Эти методы мне представляются многообещающими, и они, вполне могут оказаться наилучшими для решения общей проблемы собственных значений. Я не хотел включить их без предварительного детального изучения, которого они заслуживают. Мое решение было подкреплено тем, что они не полностью покрываются данной мной общей теорией ошибок. Второй пропуск — это общая трактовка -алгорифма Рутисхаузера. Он имеет очень широкие приложения, и я почувствовал, что не смогу полностью отдать должное этой работе в пределах, ограниченных областью задачи на собственные значения. Читатель отсылается к соответствующим работам Рутисхаузера и Хенричи. Литература по проблеме собственных значений очень обширна и я составил библиографию главным образом из тех работ, на которые в тексте сделаны явные ссылки. Очень детальная библиография приведена в вышеупомянутых книгах Фаддеева и Фаддеевой и Хаусхолдера.

В процессе изменения плана книги я искушался желанием приложить запись алгорифмов на АЛГОЛе, но решил, что в настоящее время трудности получения верных во всех деталях процедур непреодолимы. Поэтому я употреблял язык классической математики, но принимал форму слов, которую легко перевести в АЛГОЛ.

Материал этой книги получался из многих источников, но я хотел бы особенно отметить работу с моими коллегами по летней школе Мичиганского университета, особенно с Бауэром, Форсайтом, Гивенсом, Хенричи, Хаусхолдером, Ольгой Таусски, Джоном Тодд и Варга. Кроме этой работы, моим главным источником вдохновения был алгорифмический талант Рутисхаузера.

Мне приятно отметить помощь, которую я получил в этом деле от многих друзей. Я рад поблагодарить профессоров Карра и Бартельса за ряд приглашений для прочтения лекций в летней школе в Энн Арборе, которые явились для меня ежегодным стимулом пополцения рукописи. Я особенно обязан профессорам Форсайту и Гивенсу, вэликодушно обеспечившим возможность расширения двух главных замыслов рукописи. Это

позволило мне извлечь пользу из мнений более широкого круга читателей, чем это было бы возможно. Много ценных советов получено от профессора Форсайта, доктора Варга и мистера Албасини. Полностью рукопись была прочитана доктором Мартином и профессором Фоксом, а первая корректура — доктором Гудвином. Их замечания и советы спасли меня от многих грубых ошибок и от погрешностей стиля.

В трудном деле чтения корректур мне любезно помогла миссис Гудд.

Наконец, я приношу искреннюю благодарность моей жене, отпечатавшей многие варианты рукописи. Без ее терпения и упорства проект был бы, конечно, неосуществлен.

Дж. X. Уилкинсон

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление