Главная > Разное > Активные фазированные антенные решетки
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.3.2. Метод матричных пучков

Рассмотрим основные положения метода матричных пучков [23, 24, 27]. Определим вектор исходных данных как

где определяющий параметр метода, число отсчетов данных, индекс означает операцию транспонирования.

Базируясь на векторах (9.78), определим две матрицы размером

Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости следующих факторизаций этих матриц:

Доказано, что каждое из есть число, понижающее ранг матрицы (ее собственное число), при условии, если

При этом справедливо

где - столбец матрицы (правый собственный вектор); строка матрицы (левый собственный вектор). Индекс означает псевдоинверсию Мура-Пенроуза, индекс «» — операцию эрмитого сопряжения. Заметим, что при матрицы не имеют полного ранга. Подставляя (9.81), (9.82) в (9.80) получим

где единичная матрица размера .

Если тогда столбец строка исключается из (9.84). Если то имеют ранг и, следовательно, для не принадлежащего Если тогда ранг равен Если тогда ранг равен и т.е. ранг не уменьшается при Видно, что поскольку ранг уменьшается только при решения (9.83) - единственны.

Домножая (9.83) на получим

Выражение (9.85) показывает, что есть К собственных чисел матрицы Поскольку матрица имеет ранг то существуют также нулевых собственных чисел.

Аналогично можно показать, что имеет К собственных чисел, равных и нулевых собственных чисел, имеет К собственных чисел, равных и (или ) нулевых собственных чисел.

Если данные зашумлены, определим подобно заменяя усеченными до ранга К псевдообратными матрицами

Например, для справедливо следующее разложение.

где - наибольших сингулярных чисел матрицы соответствующие им сингулярные вектора

Поскольку имеет нулевых собственных значений, которые не содержат информации о ее размер может быть уменьшен перед оценкой собственных значений.

Заменяя и X, в (9.85) на и подставляя (9.86) в (9.85) для

Поскольку домножая (9.88) на получим

Видно, что оценка К собственных чисел делается для несимметричной матрицы

Собственные числа матрицы же, как и у матрицы и, вычислив их значения, задачу можно считать решенной

Далее, вычислив значения полюсов легко определить вычеты из выражения

или из (9.76). Число полюсов К может быть оценено по числу наибольших сингулярных чисел разлагаемых матриц поскольку отсутствии шума. Задача оценки числа очень важна и не может быть решена однозначно. В силу этого делаем вывод о необходимости проведения исследований по оценке числа К для модели нашего сигнала.

В результате рассмотрения известных методов оценки характеристик сигналов применительно к полюсной модели собственных излучений радиолокационных целей в СШП радиолокации можно сделать следующие выводы.

1. Непараметрические методы оценки характеристик сигналов довольно просты и легко реализуемы. Они позволяют проводить грубую оценку положения резонансных частот на z-плоскости или р-плоскости при условии, что соответствующие им полюса обладают высокой добротностью, а проблемой маскировки «слабых» полюсов «сильными» заниматься не нужно. Указанные условия в полной мере не удовлетворяют концепции анализа сигналов в сверхширокополосной радиолокации.

2. Параметрические методы оценки характеристик сигналов, представленные методом Прони и методом матричных пучков обладают значительно более высокой точностью и удобны с точки зрения формы представления результатов анализа, т.е. в виде таблицы или диаграммы полюсов по комплексной плоскости. Эти методы позволяют также восстанавливать сигналы, для которых проводилась оценка полюсов, т.е. определять вычеты для найденных полюсов или нули передаточной функции, соответствующей полюсной модели рассеянного сигнала.

3. Основными проблемами при использовании параметрических методов обработки сигналов является выбор порядка используемого метода, а также исследование устойчивости метода по отношению к уровню шума, искажающего исследуемый сигнал. Важным вопросом является также правильный выбор числа главных сингулярных чисел при использовании процедуры сингулярного разложения матрицы данных. Не менее важно правильно выбрать частоту дискретизации наблюдаемого сигнала. Решение всех этих проблем в комплексе не имеет однозначного и простого набора рекомендаций, а зависит от конкретной решаемой задачи и опыта исследователя, что создает немалые трудности при интерпретации результатов оценки параметров сигналов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление