Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.5. Принцип Релея.

Если на колебательную систему с степенями свободы наложить связей, то получим систему с одной степенью свободы. Физически это означает, что мы задаем форму колебаний системы. Возникает вопрос: каков период колебаний такой системы?

Введем главные координаты для исходной системы; тогда будем иметь

Уравнения связи представим в виде

Обозначим общую величину этих отношений через 8; эта величина будет играть роль единственной лагранжевой координаты несвободной системы. Для такой системы будем иметь

Период колебаний несвободной системы будет равен где

Если правую часть этого равенства рассматривать как функцию от то нетрудно убедиться, что эта функция приобретает стационарное значение, если все а, кроме одной, равны нулю. Таким образом, получаем следующую теорему: период колебаний несвободной системы, рассматриваемый как функция от связей, имеет стационарное значение, если исходная система вынуждена совершать одно из своих главных колебаний. Эта теорема составляет содержание принципа Релея.

В некоторых задачах можно, основываясь на соображениях симметрии, получить общее представление о характере главных колебаний; принцип Релея тогда позволяет найти периоды и получить полное решение задачи (пример 9.5А). В других случаях удается угадать форму какого-либо одного колебания, обычно основного. Свойство стационарности главных колебаний показывает, что достаточно хорошая оценка формы главного колебания позволяет, вообще говоря, получить хорошее приближение для соответствующего периода. (Если отношения имеют порядок то величина полученная по формуле (9.5.4), имеет порядок Это свойство иллюстрируется в примере 9.5В.

Пример 9.5А. Рассмотрим снова пример 9.1А, в котором

Если систему заставить совершать такие колебания, для которых

то период их будет равен где

Очевидно, что будет главным колебание, для которого полагая находим

Далее разыскиваются главные колебания, для которых получаем полагая :

Это выражение стационарно при Соответствующие значения равны

Таким образом, мы получили значения которые раньше находили непосредственным вычислением; закончить решение задачи можно так же, как в примере 9.1А.

Принцип Релея представляет собой практически удобный способ решения задач, когда известны формы главных колебаний или когда общее представление о них можно получить из физических соображений.

Пример 9.5В. В качестве простого примера произведем расчет периода главного колебания, когда приближенно известна его форма. Рассмотрим однородную гибкую струну, натянутую достаточно большой силой. Пусть концы струны закреплены в двух фиксированных точках и она совершает поперечные колебания. Обозначим длину струны через I, ее плотность — через натяжение — через и поперечное смещение — через

В этом случае мы имеем непрерывную систему (см. § 3.9), и, строго говоря, предыдущие результаты, полученные для систем с конечным числом степеней свободы, здесь неприменимы. Однако, основываясь на общих физических соображениях, эти результаты можно распространить на непрерывный случай. С требуемой степенью точности можно написать

Основное колебание симметрично относительно середины струны Поэтому рассмотрим колебание струны, при котором она принимает форму дуги параболы, симметричной относительно точки Тогда будем иметь

где При этой форме струны кинетическая и потенциальная энергии будут иметь следующие выражения:

Отсюда получаем Точная форма описывается уравнением

так что наш, вообще говоря, довольно грубый расчет, произведенный на основе принципа Релея, дал значение отличающееся от точного всего лишь на 1,3%.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление