Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения.

Волчок представляет собой твердое тело, обладающее осевой симметрией; острие его О, расположенное на оси, остается неподвижным, и вращение его происходит вокруг точки О под действием силы тяжести. Свяжем с телом триэдр направив ось по оси симметрии; тогда оси будут главными осями инерции в точке О, а моменты инерции относительно осей и будут одинаковы. Центр тяжести лежит на оси Обозначим главные моменты инерции в острие через массу волчка — через а расстояние через При мы приходим к задаче о сферическом маятнике, рассмотренной в § 5.3.

С чисто динамической точки зрения условие симметричности тела относительно оси является излишним. Уравнения, которые мы выведем, будут справедливы для любого тела, эллипсоид инерции которого в точке является сфероидом с точкой О на его оси.

Вводя углы Эйлера для определения ориентации триэдра и направляя ось вертикально вверх, напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии тела:

Уравнение Лагранжа для запишется в виде

а интегралы импульсов, соответствующие циклическим координатам будут иметь вид

Уравнение (8.6.4) выражает постоянство момента количеств движения относительно оси (величина его обозначена через а уравнение (8.6.5) — постоянство спина, т. е. составляющей угловой скорости вдоль оси волчка (величина его обозначена через Мы будем считать, что в большей части случаев, представляющих практический интерес, это число довольно велико.

Уравнения, определяющие и как функции от t, т. е. уравнения, описывающие движение оси волчка, приобретают вид

Здесь параметры положительны.

Получим теперь интеграл энергии. Это можно сделать непосредственно из уравнений движения либо с помощью общей теоремы (§ 6.7). Его можно представить в форме

Для некоторых целей уравнение (8.6.8) оказывается более удобным, чем (8.6.6). Исключая из (8.6.7) и (8.6.8), приходим к уравнению

где Обозначим полином третьей степени в правой части (8.6.9) через Зависимость z от t может быть выражена посредством функции Вейерштрасса, как в случае сферического маятника (к которому сводится наша задача, если Далее,

Мы приходим к трехпараметрической совокупности движений (не рассматривая фазовые постоянные, зависящие от выбора начала отсчета от параметров

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление