Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.16. Составляющие вектора угловой скорости.

Определим теперь составляющие вектора угловой скорости твердого тела по направлениям Сначала будем предполагать, что ориентация тела определяется углами Эйлера, а затем рассмотрим ориентацию тела с помощью углов

1. Углы Эйлера. Угловая скорость есть векторная сумма трех векторов: вектора, равного по величине и направленного по оси вектора, равного по величине и направленного по оси и вектора, равного по величине и направленного по оси (рис. 16). Обозначая через составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям можем написать

Несимметричный характер углов Эйлера порождает следующий любопытный парадокс. Если в некоторый момент времени триэдр совпадает с триэдром так что то формулы (7.16.1) дают

Составляющая оказывается равной нулю, каковы бы ни были заданные нами конечные значения Поэтому пользоваться углами Эйлера в тех задачах, где триэдр в некоторый момент совпадает с триэдром не очень удобно, за исключением тех случаев, когда в этот момент вектор угловой скорости лежит в плоскости Вообще, если то из формул (7.16.1) следует, что что в общем случае неверно.

2. Углы . В этом случае угловая скорость представляет векторную сумму трех следующих векторов: вектора, равного по величине и направленного вдоль оси вектора, равного по величине и направленного вдоль оси и вектора, равного по величине и направленного вдоль оси (рис. 17). Обозначая через составляющие вектора угловой скорости соответственно по осям будем иметь

где

Здесь мы также встречаемся с некоторыми парадоксами, например, при

При составляющие вектора угловой скорости равны как и следовало ожидать.

3. Полученные выше результаты можно вывести также из формулы (7.15.7) для Выбирая в качестве переменных углы будем иметь

и

Отсюда

где аргументами матриц-функций служат Матрица удовлетворяет соотношению

Аналогично

Используя эти результаты, можно формулу (7.16.3) переписать в следующем виде:

Таким образом, мы снова получаем соотношения (7.16.2), однако метод, изложенный в п. 1, является более простым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление