Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.9. Об одной ошибке.

Укажем на одну распространенную ошибку связанную с получением уравнений Лагранжа из интеграла Якоби. Из уравнения (6.7.2) вытекает, что

или, что то же,

По сути дела, это означает всего лишь изменение порядка действий при выводе интеграла Якоби из уравнений Лагранжа.

Из уравнения (6.9.2) нельзя вывести уравнения Лагранжа. Для этого нужно было бы быть уверенным, что уравнение

справедливо для произвольных значений тогда как равенство (6.9.2) показывает только то, что уравнение (6.9.3) выполняется тогда, когда каждое значение равно соответствующему значению в действительном движении.

§ 6.10. Обобщенный импульс. Частные производные входящие в уравнения Лагранжа, называют обобщенными импульсами или просто импульсами; их обычно обозначают через

Импульсы линейно зависят от обобщенных скоростей для натуральной системы они являются однородными линейными функциями от обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от

Позже мы увидим, что состояние системы в данный момент иногда бывает удобнее описывать с помощью (координат и импульсов), а не с помощью (координат и скоростей).

Приведем два простых примера.

1) Пусть частица движется в консервативном поле с потенциалом В этом случае функция Лагранжа имеет вид

где обычные декартовы координаты. Обобщенный импульс, соответствующий координате х, будет равен

т. е. будет равен проекции количества движения на ось В задачах, подобных этой, где лагранжевы координаты не нумеруются, мы иногда будем обобщенный импульс, соответствующий лагранжевой координате обозначать через например, в рассматриваемой задаче

2) Пусть частица совершает плоское движение под действием центрального поля притяжения к точке О. Функция Лагранжа в полярных координатах будет иметь вид

где

В этом случае обобщенный импульс

будет равен моменту количества движения относительно точки О.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление