Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.4. Форма уравнений Лагранжа.

Для голономной системы уравнение Лагранжа записывается в форме

Правая часть зависит только от уравнения Лагранжа линейны относительно вторых производных Кроме того, коэффициенты суть коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы причем определитель не обращается в нуль ни при каких значениях так что уравнения (6.4.1) можно разрешить относительно

Функции зависят только от Для классической механики характерно то обстоятельство, что с помощью уравнений движения ускорение явным образом выражается через координаты, скорости и время. Этот факт уже отмечался нами в § 1.1, когда мы рассматривали движение свободной материальной точки.

Если обозначить то систему уравнений второго порядка (6.4.2) можно заменить системой уравнений первого порядка:

Уравнения теперь приводятся к виду

где — матрицы-столбцы, или векторы с составляющими, причем X — функция от Форма (6.4.4) играет важную роль, и в дальнейшем мы часто будем ею пользоваться. Мы уже встречались с ней в § 1.1, когда рассматривали движение одной частицы. Уравнения (6.4.3) или (6.4.4) можно рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки в пространстве измерений. Заметим, что первая группа уравнений — чисто геометрическая: эти уравнения просто определяют переменные и совершенно не связаны с принципами механики. Они не изменятся, если на систему будут действовать другие заданные силы. Напротив, последние уравнений зависят от законов движения и заданной системы сил. В приложениях, однако, обе эти группы уравнений объединяются в единую систему вида (6.4.4), и указанное различие этих групп теряет свое значение.

Значительно более удобно привести уравнения движения к форме (6.4.4) с помощью уравнений Гамильтона, которые будут рассмотрены в § 10.13 и в последующих главах.

Возвращаясь к уравнениям Лагранжа второго порядка, выразим уравнения движения явным образом через и что нам потребуется в дальнейшем. Согласно (6.1.6) 5

и

Далее, согласно (6.1.7)

и

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление