Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.2. Уравнения Лагранжа.

Уравнение (6.1.12) справедливо для любого виртуального перемещения Предположим сначала, что система голономна и число лагранжевых координат минимально, т. е. Тогда уравнение (6.1.12) справедливо для любых значений и мы получаем уравнения движения Лагранжа

Предположим теперь, что система неголономна и число лагранжевых координат минимально, т. е. Имеем I уравнений связи

Уравнение (6.1.12) теперь справедливо не для произвольных а для удовлетворяющих условиям

Уравнения движения запишутся теперь в форме

содержащей I множителей Присоединяя к уравнениям (6.2.2) уравнения связи

получаем систему уравнений для определения неизвестных и как функций времени. Множители линейно связаны с реакциями связи; например, в задаче о качении сферы они связаны с реакцией плоскости в точке контакта с ней сферы.

Покажем, как изменяются уравнения при наличии избыточных координат. Пусть имеется таких координат и связывающих их соотношений

В этом случае в правую часть (6.2.1) или (6.2.2) добавляются слагаемые

Множители представляют лишних неизвестных, для определения которых имеем дополнительных уравнений (5.12.6).

Уравнения (6.2.1) и (6.2.2) были получены Лагранжем в 1760 г. С их помощью можно описать движение любой механической системы. Сначала выбираются лагранжевы координаты затем составляется функция кинетическая энергия в виде полинома от коэффициентами, зависящими от возможно, от наконец, пишется выражение для работы, совершаемой заданными силами на произвольном виртуальном перемещении, в виде дифференциальной формы Уравнения Лагранжа занимают центральное место в его знаменитом сочинении «Mecanique Analytique» [4], опубликованном в 1788 г. Это сочинение следует отнести к эпохальным трудам во всей истории математики. Лагранж писал, что его метод позволил свести динамическую задачу к задаче чистого анализа, так что оказалось излишним приводить всякий раз геометрические соображения: «On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage». Сочинение Лагранжа является основным источником идей аналитической механики и по праву считается одним из величайших духовных достижений человечества.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление