Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.7. Лагранжевы координаты для голономной системы.

Вернемся теперь к задаче о переходе от декартовых координат к лагранжевым, которую мы начали рассматривать в § 5.1. Допустим сначала, что уравнения связи (2.2.4) вполне интегрируемы, т. е. что они эквивалентны уравнениям вида

где

причем В этом случае система является голономной.

Рассмотрим преобразование

в котором первые функций суть функции (5.7.2), определяемые уравнениями связи, а остальные функций представляют собой подходящим образом подобранные функции от аргументов принадлежащие классу Если достаточно малая область пространства в которой якобиан

отличен от нуля, то уравнения (5.7.3) определяют взаимно однозначное соответствие между областью пространства и областью А пространства Уравнения (5.7.3) могут быть разрешены относительно Получаемые при этом функции от аргументов принадлежат классу в области А. В большей части случаев, представляющих практический интерес, переменные х зависят только от и не зависят от t. Уравнения связи в новых переменных принимают простую форму:

(Действительно, в большей части случаев уравнения связи с самого начала могут быть представлены в этой форме, причем а — абсолютные постоянные, не зависящие от начальных условий.) Если значения постоянных в уравнениях (5.7.5) установлены, остальные к переменных определяют положение системы. Переменные х выражаются как явные функции от к координат и времени, что является важным свойством лагранжевых координат. Уравнений связи теперь нет, перемещение, представляемое произвольными дифференциалами является возможным, и

Рассмотрим теперь виртуальные перемещения. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнениям

Уравнения (5.7.7) удовлетворяются выражениями

при произвольных значениях поскольку

если Более того, это — виртуальное перемещение в наиболее общем виде. Виртуальные перемещения определяются произвольными приращениями причем время t не варьируется.

Описанный выше процесс позволяет осуществить формальный переход от декартовых координат к лагранжевым, однако на практике применяют

значительно более простой способ преобразования координат. Как уже отмечено ранее (§ 5.1), в большей части случаев выбор лагранжевых координат может быть произведен непосредственно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление