Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29.13. Невозможность тройных столкновений.

Рассмотрим задачу трех тел в предположении, что центр масс находится в покое. Введем функцию

Эта функция неотрицательна и симметрична по отношению к трем телам. В обозначениях § 29.10 (где была сформулирована эквивалентная задача двух тел) получаем (см. (29.10.6))

где

Кинетическая энергия определяется формулой

а интеграл энергии имеет вид

Интегралы момента количеств движения определяются равенствами

Далее имеем

С другой стороны, в силу (29.10.7)

ибо функция однородна степени —1 относительно переменных . Равенство (29.13.10) вместе с (29.13.5) приводят к формуле Лагранжа

Далее имеем

так что

Следовательно,

Кроме того,

откуда

Подставляя это выражение для и аналогичное выражение для в правую часть (29.13.14) и учитывая (29.13.5), приходим к формуле Зундмана

где

Исключая из (29.13.17) и (29.13.11), получаем

Рассмотрим теперь как функцию семи переменных — подчиняющуюся соотношениям (29.13.6) — (29.13.8). Наименьшее значение, которое может иметь выражение

при дополнительном условии (29.13.6), равно Это очевидно из элементарного тождества

Отсюда и из аналогичных формул приходим к неравенству

где

Так как случай исключили (§ 29.2), то Из формул (29.13.19) и (29.13.22) находим

Если теперь ввести обозначение

то будем иметь

Неравенство (29.13.24) показывает, что функция возрастает (или по крайней мере не убывает) с возрастанием и убывает (или по крайней мере не возрастает) с убыванием

Теперь нетрудно показать, что столкновение трех частиц невозможно, если Предположим противное: пусть когда со стороны меньших значений. Тогда при Далее, формула (29.13.11) показывает, что при следовательно, если t достаточно близко к например, лежит в интервале определяемом неравенствами . В интервале I производная растет вместе с откуда следует, что в этом интервале . В самом деле, если бы в некоторой точке интервала I выполнялось неравенство то оно выполнялось бы и в интервале что невозможно, так как при Таким образом, в интервале следовательно, в этом интервале что приводит к противоречию, поскольку при

Если то тройное столкновение возможно. В качестве простейшего примера можно привести случай, когда три частицы одинаковой массы начинают свое движение, находясь в вершинах равностороннего треугольника.

Столкновение двух частиц возможно и при После такого столкновения частицы движутся так, как описано в § 5.6. (В течение короткого промежутка времени, включающего момент столкновения, влияние третьей частицы пренебрежимо мало по сравнению с взаимным притяжением сталкивающихся частиц, и в течение этого промежутка времени задача фактически становится задачей двух тел.) Особенности в формулах, соответствующие столкновению двух частиц, не являются существенными; они могут быть устранены посредством надлежащего выбора новой независимой переменной. Этот результат содержится в известной работе Зундмана 1912 г. Зундман показал, что координаты трех частиц и время могут быть представлены в виде функций комплексной переменной регулярных внутри единичного круга Координаты при этом определяются степенными рядами по сходящимися для всех значений времени. Единственным случаем, на который эта теория не распространяется, является случай тройного столкновения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление