Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29.11. Другой подход к задаче трех точек Лагранжа.

В качестве первого приложения уравнений (29.10.12) рассмотрим снова задачу, когда сохраняют постоянные значения. В этом случае выражения остаются постоянными. Будут постоянны также коэффициенты в уравнении (29.10.12), причем положительны и, кроме того,

Так как то

и, следовательно,

Отсюда, учитывая, что получаем и

Таким образом,

и, следовательно,

Отсюда следует, что либо либо во все время движения. 1) Если то и векторы и удовлетворяют уравнениям вида

где пир — положительные числа. Каждое этих уравнений описывает движение изотропного осциллятора. Поскольку и постоянно, решение записывается в виде

где векторы равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Если вектор и на вспомогательной плоскости обозначить через то точка будет описывать на этой плоскости окружность с постоянной угловой скоростью Аналогично

причем векторы равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. Постоянство скалярного произведения показывает, что векторы «компланарны и (при этом предполагается, что вращение от происходит в том же направлении, что и вращение от Уравнение в развернутой форме имеет вид

откуда следует, что т. е. треугольник равносторонний. Он вращается с угловой скоростью где (см. (29.3.7)).

2) Если то откуда следует, что векторы параллельны и частицы расположены на одной прямой. Предположим противное: пусть векторы и не параллельны. Тогда, поскольку вектор и перпендикулярен к плоскости векторов то же самое справедливо и относительно вектора Таким образом, учитывая постоянство заключаем, что

где постоянный скалярный множитель. Следовательно, откуда

Но последнее равенство невозможно, поскольку из него следует, что а это противоречит условию (29.11.1). Таким образом, векторы и коллинеарны и частицы располагаются на одной прямой. Соотношение (29.11.12) приводит к квадратному уравнению относительно

Можно также вывести уравнение пятой степени для величины хотя непосредственный метод, изложенный в § 29.3, проще. Предполагая (что не нарушает общности, а лишь устанавливает определенный порядок расположения частиц на прямой) и учитывая, что получаем

откуда следует, что

и

Коэффициенты в уравнении (29.11.13) имеют теперь следующие выражения:

Подставляя их в уравнение

получаем уравнение седьмой степени относительно к:

Отбрасывая корни которые соответствуют случаю совпадения двух частиц, мы приходим снова к уравнению (29.3.14).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление