Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29.8. Сведение к системе шести уравнений.

Рассмотрим снова функцию Гамильтона (29.6.5). Прежде всего заметим, что функция не содержит (что, конечно, очевидно геометрически). Два последних уравнения Гамильтона имеют вид

Составляющие импульса равны

так что уравнения (29.8.1) выражают сохранение импульса. Если центр масс системы находится в покое, то

в течение всего времени движения. Если начальные условия таковы, что центр масс находится в покое, а начало координат О совпадает с то координаты могут быть найдены по известным с помощью

формул

Эти уравнения непосредственно следуют из (29.6.1) и (29.5.12), (29.5.13).

Таким образом, если центр масс находится в покое и начало координат О выбрано в точке то число уравнений системы может быть понижено до восьми. Переменные определяются из уравнений Гамильтона, соответствующих функции Гамильтона

Покажем теперь, как осуществить дальнейшее понижение числа уравнений — с восьми до шести. Это делается с помощью процедуры, предложенной Якоби и известной как исключение узлов. Коэффициент при в выражении (29.8.5) равен моменту количеств движения системы относительно точки О. Как показывают уравнения движения, эта величина сохраняет постоянное значение. Основная идея метода Якоби заключается в применении такого контактного преобразования, в котором выражение для момента количеств движения

является одной из новых переменных. С этой целью произведем точечное преобразование

где

Рис. 119.

Геометрический смысл такого преобразования очевиден: являются полярными координатами точки в подвижных осях, представляют составляющие вектора параллельную и перпендикулярную вектору (рис. 119). Чтобы определить контактное преобразование — расширенное точечное преобразование (29.8.7), требуется следующая производящая функция:

Уравнения преобразования имеют вид

откуда следует, что преобразование определяется уравнениями (29.8.7) и уравнениями

где через К обозначено выражение Заметим, что

есть постоянный момент количеств движения. Это является отличительной особенностью преобразования Якоби. Новая функция Гамильтона имеет

следующее выражение:

Это выражение не содержит следовательно, остается постоянным в процессе всего движения:

Мы снова получили уже известный нам результат. Система, таким образом, свелась к системе с шестью переменными; для функции Гамильтона мы получили выражение

где К обозначает теперь Если эту систему шестого порядка проинтегрировать, то оставшуюся переменную можно будет найти квадратурой из уравнения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление