Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 29.4. Решения, для которых треугольник Лагранжа сохраняет свою форму.

Равносторонний треугольник в решении Лагранжа остается неизменным как по размерам, так и по форме. Лагранж поставил следующий вопрос: «Существуют ли такие решения, для которых частицы располагаются в вершинах треугольника, неизменного по форме, но изменяющего свои размеры?» Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем неподвижную прямоугольную систему координат и предположим, что частицы расположены в точках с комплексными координатами

где с — комплексные постоянные, комплексная функция времени t. Уравнения движения тогда будут иметь вид

и два аналогичных уравнения. Для того чтобы решение имело форму (29.4.1), необходимо, чтобы

и т. д. Следовательно, если существуют постоянные такие, что

где вещественное положительное число, то любое решение уравнения

удовлетворяет уравнениям движения (29.4.2).

Некоторые решения этих уравнений нам уже известны, например решения вида где значения координат точек Лагранжа при отсчитываемых от точки В первом из рассмотренных выше случаев точки образуют вершины равностороннего треугольника, причем Следовательно, указанные значения удовлетворяют уравнению (29.4.3) при

Уравнение (29.4.5) описывает движение частицы в ньютоновском поле тяготения, а для этой задачи нам хорошо известно решение. Таким образом, мы получили решение задачи трех тел, в котором каждая частица описывает коническое сечение с одним из фокусов, расположенным в центре масс; при этом центр масс находится в покое.

Частицы по-прежнему располагаются в вершинах треугольника, который все время остается равносторонним. Конические сечения, описываемые каждой частицей, имеют один и тот же эксцентриситет. Если сечения представляют собой эллипсы, то движение имеет периодический характер.

Большой интерес представляет случай, когда период движения по эллипсу равен т. е. совпадает с периодом вращения треугольника Лагранжа. Для этого случая движение относительно осей, вращающихся с угловой скоростью , также является

периодическим с периодом Рассмотрим более подробно случай, когда частицы первоначально движутся по окружностям, а затем каждая из них получает небольшой импульс, после чего траектории становятся эллиптическими. Эксцентриситет эллипсов при этом мал, а период обращения каждой частицы равен первоначальному периоду обращения по окружности. При этих условиях каждая частица (относительно вращающихся осей) остается вблизи своего первоначального положения. Чтобы исследовать движение относительно вращающихся осей, выберем оси так, чтобы ось составляла угол с большой осью эллипса. Координаты частицы относительно вращающихся осей запишутся тогда в виде

где полуоси эллипса, угол, образуемый радиус-вектором с большой осью эллипса. Но для эллиптического движения, если считать, что в момент частица находится в перигелии, будем иметь (§ 5.5)

и формулы (29.4.6) тогда примут вид

Эти формулы являются точными независимо от того, мал эксцентриситет или нет. Однако сейчас нас интересует лишь случай, когда он мал. Разлагая выражения в правых частях (29.4.8) в ряды по степеням и сохраняя только члены первого порядка, получаем

Приближенно траекторией частицы относительно вращающихся осей будет эллипс с центром в точке Длина большой оси этого эллипса в два раза больше длины малой оси.

Подобным же образом можно убедиться в существовании решений во втором случае Лагранжа, когда частицы коллинеарны во время движения. При таких движениях значение определяется из уравнения (29.3.14), а значение из уравнения (29.3.17).

Кроме того, существует решение, в котором частицы постоянно движутся вдоль прямой. Отношение в этом случае по-прежнему равно решение было известно еще Эйлеру, который тоже получил для к уравнение пятой степени (29.3.14).

Изложенная теория без труда распространяется на случай плоского движения тел. Если удается получить решение, для которого центр масс находится в покое, а тела расположены в вершинах равномерно вращающегося многоугольника постоянных размеров и неизменной формы, то можно указать решения (в частности, периодические), в которых тела располагаются в вершинах многоугольника неизменной формы, но изменяющихся размеров. Простейшим является тот случай, когда все тела имеют одинаковую массу Очевидно, что существует решение, в котором частицы располагаются в вершинах правильного многоугольника, вращающегося с постоянной угловой скоростью. Пусть а — радиус круга, описанного около многоугольника, тогда угловая скорость будет равна

где

С помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводились выше для случая можно показать, что существуют решения, соответствующие правильному многоугольнику изменяющихся размеров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление