Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27.7. Пространство конфигураций.

Как мы видели в § 27.3, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет свести задачу об определении траектории частицы, движущейся в силовом поле, к простой вариационной задаче. Действительная траектория частицы доставляет минимальное

(или по крайней мере стационарное) значение интегралу

Сейчас мы рассмотрим аналогичное преобразование задачи в случае системы более общего вида.

Пусть мы имеем натуральную систему, для которой

причем коэффициенты суть функции от переменных принадлежащие к классу Введем в -пространстве риманову метрику, определив элементарное расстояние между двумя соседними точками формулой

Если -пространство обладает метрикой (27.7.3), то его называют пространством конфигураций. Возвращаясь к задаче о движении системы точек, можем написать

После того как мы определили бесконечно малые расстояния в пространстве конфигураций (формула (27.7.3)), можно перейти к вычислению конечных расстояний между точками. Определим длину спрямляемой кривой в пространстве с помощью интегрирования вдоль этой кривой и введем понятие расстояния между двумя любыми конфигурациями как нижнюю грань (наибольшую нижнюю границу) длин спрямляемых кривых, соединяющих эти две конфигурации. Расстояние между двумя конфигурациями обозначим через Теперь можно легко определить понятие окрестности. Пусть некоторая конфигурация, положительное число. Множество точек таких, что

назовем сферической окрестностью Любое множество конфигураций которое содержит сферическую окрестность будем называть окрестностью Располагая понятием окрестности в пространстве конфигураций, мы можем изучать его топологические свойства.

Кинетическая энергия системы определяется формулой

Она имеет такой вид, словно изображающая точка есть частица единичной массы, движущаяся в пространстве. Но это, конечно, еще не дает полной картины. Аналогия между динамической системой и точкой, движущейся в пространстве конфигураций, распространяется также и на уравнение движения, уравнение движения Лагранжа для системы имеет вид

где, подобно (6.4.5), через обозначен первый символ Кристоффеля, хотя, строго говоря, следовало бы вместо писать как это принято в тензорном анализе. Левая часть равенства (27.7.7) представляет не что иное, как ковариантную составляющую ускорения в пространстве конфигураций. Уравнение движения Лагранжа для системы в точности совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона для частицы единичной

массы, движущейся в пространстве конфигураций под действием поля с потенциалом

Принцип наименьшего действия в форме Якоби (27.3.2) для общего случая динамической системы принимает следующий вид:

Это равенство имеет точно такую же форму, как и в простом случае движения частицы в обычном пространстве, отличие состоит в том, что теперь интегрирование производится вдоль кривой в пространстве конфигураций и здесь обозначает длину дуги этой кривой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление