Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 26.10. Конформные преобразования.

Рассмотрим систему с функцией Лагранжа

В качестве такой системы естественно принять материальную точку, движение которой происходит в плоскости под действием сил консервативного поля, причем обычные декартовы координаты. Можно, разумеется, принять и более сложную систему, для которой х и у будут лагранжевыми координатами.

Если перейти к новым переменным с помощью конформного преобразования

задаваемого функцией регулярной в некоторой области то будем иметь

и

где

Применим теперь теорему § 26.7 к системе (26.10.4), положив Новая функция Лагранжа (26.7.7) для движений с энергией будет иметь вид

а интеграл энергии (26.7.8) запишется в виде

Рис. 107.

Рассмотрим в качестве примера преобразование

отображающее правую полуплоскость на плоскость z с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси. При этом

где, как обычно,

Функция Лагранжа запишется теперь в форме

а интеграл энергии будет иметь следующее выражение:

Кривые в -плоскости отображаются в два семейства конфокальных парабол, пересекающих друг друга под прямым углом (рис. 107). Эти семейства парабол уже встречались нам в § 17.9.

Преобразование (26.10.8) особенно удобно для исследования задачи о движении в поле ньютоновского притяжения, когда . В этом

случае

и мы снова получаем разделение системы на две независимых. Уравнения движения имеют вид

а интеграл энергии имеет следующее выражение:

Как хорошо известно, характер решения существенным образом зависит от знака Рассмотрим более подробно случай, когда положив, например, где вещественное положительное число. Общее решение получить нетрудно. Оно будет иметь более простой вид, если «выстрелить из вершины параболы», иными словами, положить при Тогда будем иметь

причем

Выбор этого обозначения продиктован тем, что при движении по эллиптической орбите энергия равна где обозначает большую ось эллипса. Положим

(Если в качестве начальной точки выбран перигелий, то Тогда будем иметь

Рассмотрим теперь зависимость положения частицы на орбите от времени. Имеем

Принимая во внимание формулу находим

где Ясно, что величина представляет собой эксцентрическую аномалию, а уравнение (26.10.22) является уравнением Кеплера.

Напишем уравнение орбиты в полярных координатах, отсчитывая полярный угол от оси

Это есть уравнение эллипса; если то перигелий расположен на положительной оси

В ходе вывода надо было предположить, что движение происходит по части кривой (26.10.16), расположенной в правой полуплоскости соответствующей орбите в z-плоскости, не пересекающей линии разреза. Теперь в этом ограничении нет нужды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление