Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 26.7. Замена независимой переменной.

Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмечалось нами ранее (в § 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением

в котором и обозначает заданную положительную функцию от принадлежащую к классу Переменную можно считать новым (искусственным) временем, измеряемым по часам, связанным с изображающей точкой в -пространстве, скорость хода которых является заданной функцией положения в пространстве. С понятием искусственного времени мы уже встречались в §§ 17.3, 18.1 и 18.3. Из принципа Гамильтона в его обобщенной форме (26.6.2) следует, что

причем концевые точки в -пространстве фиксированы, а концевые значения свободны. Поэтому, если мы выразим функцию через где то сможем получить уравнения движения с в качестве независимой переменной. Этими уравнениями будут уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи (26.7.2) или, что то же, уравнения Лагранжа для системы с функцией Лагранжа

где через обозначена функция записанная в переменных вместо При этом, однако, следует помнить, что не все решения этих уравнений представляют возможные движения, а лишь те из них, для которых Уравнения определяют траекторию в -пространстве, но не устанавливают непосредственно связи между положением точки на траектории и временем. Найдем выражение для функции А. Напишем, как обычно,

где (см. (6.1.6))

и (см. (6.1.7))

Выражения в переменных записываем точно таким же образом:

Имеем

Теперь находим

и окончательно

Следует иметь в виду, что только такие движения, для которых

отвечают динамической задаче. Если система неголономна, то в уравнения движения войдут I множителей X, как это имелч место в (6.6.4). В простейшем и наиболее распространенном случае натуральной системы

множители не появляются и в выражения (26.7.7) и (26.7.8) не входят слагаемые так что

и ограничение (26.7.8) принимает вид

Интересно непосредственно убедиться в том, что уравнениям движения, полученным с помощью функции (26.7.7), действительно удовлетворяют движения системы с энергией Имеем

Отсюда

так как коэффициент при равен нулю в силу (26.7.8). Окончательно получаем

Правая часть этого равенства обращается в нуль, поскольку движение удовлетворяет уравнениям Лагранжа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление