Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 26.2. Теорема Ливенса.

В этом параграфе мы будем рассматривать только голопомные системы. В § 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона; такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация задана в каждый момент времени, то вариация со определяется уравнениями

Чтобы преодолеть это затруднение, обратимся вновь к правилу множителей.

Будем характеризовать движение системы перемещением изображающей точки в -мерном пространстве Из условия (26.1.2) следует, что интеграл принимает стационарное значение в семействе кривых, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

В концевых точках значения переменных и независимой переменной t фиксированы, а значения со остаются свободными. Поскольку мы рассматриваем лишь такие кривые, которые удовлетворяют уравнениям (26.2.2), а вариации синхронны, можно утверждать, что условия (26.2.1) наверняка удовлетворяются.

Согласно правилу множителей интеграл

(где знак 2 обозначает суммирование от 1 до принимает стационарное значение при произвольных вариациях переменных и со; при этом функции подлежат определению. Условия стационарности записываются в форме уравнений

к которым следует присоединить уравнений (26.2.2). Разумеется, из этих уравнений можно сразу получить уравнения Лагранжа. Но для нас сейчас важно другое, а именно:

принимает стационарное значение по отношению к произвольным вариациям пути в пространстве Но такие вариации эквивалентны произвольным вариациям переменных выражая результат через понятия фазового пространства, можем сформулировать следующую теорему: интеграл

принимает стационарное значение при произвольной вариации переменных . В этом состоит теорема Ливенса Символом под знаком интеграла обозначена функция

записанная в переменных Для этого уравнения

нужно разрешить относительно (см. § 10.13). Время и переменные фиксированы в концевых точках, а переменные свободны. Таким образом,

мы имеем задачу в пространстве переменных со свободными концевыми точками. Но условия на концах не вносят ничего нового, поскольку подынтегральная функция не содержит

Уравнения Эйлера — Лагранжа, выражающие необходимые условия стационарности функционала (26.2.6), представляют собой не что иное, как уравнения Гамильтона

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление