Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25.9. Интегралы, линейные относительно импульсов.

Если среди лагранжевых координат, описывающих динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, то соответствующий импульс при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеющая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой.

Пусть известный интеграл задается выражением

где известные функции от Доказательство теоремы связано с построением расширенного точечного преобразования переменных в переменные при котором

Возможность построения такого преобразования определяется в свою очередь свойствами линейных уравнений первого порядка в частных производных.

Рассмотрим уравнения

определяющие семейство кривых в -пространстве. Решения этих уравнений можно определить как линии пересечения интегральных поверхностей, соответствующих независимым интегралам уравнения в частных производных

Введем для этих интегралов обозначения

и рассмотрим точечное преобразование

в котором первые функций являются функциями (25.9.5).

Остается определить функцию Выберем таким образом, чтобы при движении вдоль одной из интегральных кривых, определяемых уравнениями (25.9.3), выполнялись соотношения

Можно, например, взять в качестве интеграл уравнения

где через обозначена функция записанная в переменных

Отметим, что функция является интегралом уравнения в частных производных

Предположим теперь, что преобразование (25.9.6) обратимо и переменные можно выразить через переменные в соответствующей области -простр анств а:

При этом

Последнее следует из того, что функции удовлетворяют уравнению (25.9.4), уравнению (25.9.9). Геометрически это ясно из системы (25.9.7), если рассмотреть движение вдоль одной из интегральных кривых системы (25.9.3); при таком движении остаются постоянными.

Теперь уже легко доказать теорему. Рассмотрим расширенное точечное преобразование (24.4.6):

В новых переменных будем иметь

так что величина при движении остается постоянной, и, стало быть, соответствующая координата является циклической, что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление