Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25.2. Вариация элементов траектории.

Предположим, что нам удалось с помощью теоремы Гамильтона — Якоби найти решение уравнений движения системы с функцией Гамильтона Рассмотрим теперь другую задачу, когда функция Гамильтона равна Решение этой новой задачи получается, как мы покажем, путем интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы чрезвычайно простого вида.

Пусть есть известный полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона для исходной системы. Рассмотрим преобразование определяемое уравнениями

Это преобразование является контактным, поскольку

Рассмотрим теперь задачу, когда функция Гамильтона равна и составим уравнения движения в новых переменных По теореме Якоби (§ 25.1) новые уравнения движения будут иметь вид

где К обозначает функцию К, выраженную через Это как раз мы и хотели доказать.

Сделаем несколько замечаний, относящихся к полученному результату.

1) Если то, как показывают формулы (25.2.3), величины постоянны, и мы получаем в точности теорему Гамильтона — Якоби.

2) Если то решение новой задачи представляется в весьма интересной форме. В исходной задаче движение описывалось переменными выраженными через постоянных Решение новой задачи дается точно такими же формулами, что и решение исходной, с той лишь разницей, что постоянные заменяются общим решением уравнений (25.2.3). Это общее решение будет содержать новых постоянных.

Новую задачу теперь можно интерпретировать следующим образом. Можно считать, что в каждый момент времени движение происходит вдоль одной из траекторий первоначальной задачи, но элементы этих траекторий не остаются постоянными (как это было в первоначальной задаче), а изменяются с течением времени. Вместо того, чтобы переход от функции Гамильтона к рассматривать как совершенно новую задачу, мы теперь характеризуем влияние дополнительного члена К как непрерывное изменение первоначального движения. Функцию К можно назвать пертурбационной функцией. (В небесной механике возмущающая функция обычно представляет собой дополнительное слагаемое в выражении гравитационного потенциала и

3) Доказанная выше теорема является точной. Однако она оказывается особенно полезной в тех случаях, когдавозмущение мало, т.е. когда К содержит малый параметр и требуется лишь приближенное решение для малых значений Именно в этом случае представление о непрерывном изменении исходного движения является особенно важным.

Пример Проиллюстрируем полученный результат на простом примере.

Возьмем в качестве исходной системы гармонический осциллятор, для которого

Рассмотрим движение, которое возникает при наложении однородного поля

Это движение легко получить из элементарных соображений, но мы его найдем с помощью только что доказанной теоремы.

Теорема Гамильтона — Якоби (§ 16.7) дает следующее решение исходной задачи:

По доказанному выше задача о возмущенном движении имеет такое, же решение, но: теперь являются общими решениями уравнений

где

Мы получили новую задачу Гамильтона. Решение ее удобно искать непосредственно, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби. Имеем

Обозначая разность через , получаем

Чтобы проинтегрировать уравнения (25.2.9), положим

Имеем

и

Следовательно,

и решением задачи о возмущенном движении будет

Пример 25.2В. Простой маятник; второе приближение. Отсчитывая угол от направленной вниз вертикали, находим (см. пример

или, полагая

Тогда и функция Гамильтона принимает вид

Если амплитуда колебаний маятника мала, то в первом приближении можно написать

В качестве второго приближения можно взять задачу с функцией Гамильтона где

Если с помощью теоремы Гамильтона — Якоби получить решение первой задачи (задачи о гармоническом осцилляторе), то решение второй задачи будет отличаться только тем, что более не будут постоянными, а будут определяться общим решением уравнений (25.2.3).

Для первого приближения уравнение в частных производных Гамильтона имеет вид

и полный интеграл равен

(Для наших целей это выражение несколько удобнее, нежели (16.7.7).) Решением задачи откуда находим

Решение задачи второго приближения дается этими же формулами, но символы теперь обозначают решение уравнений (25.2.3), в которых

Таким образом,

Если амплитуда колебаний мала, то мала и величина а, а производная а равна произведению на периодический множитель; поэтому величину а можно считать постоянной. В соответствии с этим главный член в выражении для можно записать в виде где постоянная. Таким образом, следующее (после (25.2.22)) приближение для дается формулой

или, если ввести амплитуду А,

Период колебания приближенно равен

(В § 5.2 мы нашли лучшие приближения, например, приближение для величины дает следующее выражение для периода:

Приближенно оно совпадает с (25.2.27).)

Подойдем теперь к решению задачи о маятнике с иной точки зрения. Возьмем функцию Гамильтона (25.2.23) и перейдем от переменных к переменным

с помощью контактного преобразования, определяемого производящей функцией

Тогда будем иметь

и

В новых переменных функция Гамильтона будет иметь вид Таким образом,

причем правую часть надлежит выразить через Но а мало отличается от от поэтому новая функция Гамильтона близка к нулю и почти постоянны. Отсюда, как и ранее, приходим к равенству

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление