Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.4. Приложения принципа Гаусса.

Принцип Гаусса тесным образом связан с уравнениями движения в форме Гиббса — Аппеля, которые будут рассмотрены в гл. XII и XIII; там же будут приведены решения более сложных задач. Здесь же мы ограничимся несколькими простыми примерами.

Пример 4.4А. Машина Атвуда. Две массы соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий блок, и движутся по вертикали. Определить движение масс.

Если ускорение массы движущейся вверх, и массы движущейся вниз, то можем написать

Отсюда

Выражение С достигает минимума при

так что ускорение имеет постоянное значение. Еще проще этот результат получается из условия

выражающего стационарность функции С.

Пример Обезьяна и противовес. Пусть теперь вместо груза массы на конце нити находится обезьяна той же массы, и пусть она лезет вверх по нити. Положение обезьяны относительно нити в момент t зададим функцией класса и будем предполагать, что первоначально система находилась в покое и что

Если через z обозначить вертикальную координату обезьяны (рассматриваемой как материальная точка), а через координату противовеса в момент то выражение С запишется в следующей форме:

Пусть при тогда и

Требуется определить значение минимизирующее выражение С. Оно находится из уравнения

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

В частном случае, когда получаем т. е. обезьяна и противовес находятся на одной и той же высоте.

Пример 4.4С. Частица на движущейся наклонной плоскости. Клин массы скользит по столу, а частица массы движется по наклонной плоскости клина, образующей с плоскостью стола угол а. Все поверхности гладкие. Движение происходит в вертикальной плоскости, проходящей через линию наибольшего наклона. Найти движение частицы.

Если через обозначить ускорение клина в момент а через ускорение частицы относительно клина в этот же момент времени, то выражение для С запишется в виде

Из уравнений находим

Следовательно, постоянны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление